文档介绍：因式分解一点通第一讲因式分解(一)把一个多项式分解成几个因式的连乘积的形式,称为把这个多项式因式分解。因式分解的要求有七项:单项因子须写在多项式因子的前面;相同因式须写出幂的形式;最后运算必须是乘法;分解必须彻底(即不再能继续分解);分解的结果不允许有双重以上的括号;各多项式因式的首项必须取“+”号;每一个多项式因子须是按同一字母的升幂或降幂排列的最简形式。多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,,技巧性强,学****这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,、运用公式法、,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数; (8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数;(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例1分解因式: (1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7. 解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4) =-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2. (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz). (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 =(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2. 本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下: 原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 例2分解因式:a3+b3+c3-3abc. 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6). 分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正确性,现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b). 这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导. 解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca). 说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为 a3+b3+c3-3abc 显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立. 如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有等号成立的充要条件是x=y=. 例3分解因式:x15+x14+x13+…+x2+x+1. 分析这个多项式的特点是:有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解. 解因为 x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1), 所以说明在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),