文档介绍：2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
说明:评阅试卷时,,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.
第一试
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
本题共有6小题,每题均给出了代号为的四个答案,;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.
,,且,则代数式的值为( )
5. 7. 9. 11.
【答】.
解由题设条件可知,,且,所以是一元二次方程的两根,故,,因此. 故选.
,设,,为三角形的三条高,若,,,则线段的长为( )
. 4. . .
【答】.
解因为,,为三角形的三条高,易知四点共圆,
于是△∽△,故,即,所以.
在Rt△中,. 故选.
,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是( )
. . . .
【答】.
解能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个.
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页(共9页)
所以所组成的数是3的倍数的概率是. 故选.
△中,,,和分别是这两个角的外角平分线,且点分别在直线和直线上,则( )
. .
. 和的大小关系不确定.
【答】.
解∵,为的外角平分线,∴.
又,∴,
∴.
又,
∴
,
∴. 因此,.故选.
,从今天开始每天分别降价10%或20%,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为,则的最小值为( )
. . . .
【答】.
解容易知道,4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.
设5种商品降价前的价格为,过了天. 天后每种商品的价格一定可以表示为
,其中为自然数,且.
要使的值最小,五种商品的价格应该分别为:,,
,,,其中为不超过的自然数.
所以的最小值为. 故选.
6. 已知实数满足,则的值为( )
. 2008. . 1.
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页(共9页)
【答】.
解∵,
∴,
,
由以上两式可得. 所以,解得,所以
.
故选.
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
,则.
解∵,∴,
∴
.
,正方形的边长为1,为所在直线上的两点,且,,则四边形的面积为
解设正方形的中心为,连,则,
,
, ∴.
又,
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,
所以△∽△,故,从而.
根据对称性可知,四边形的面积
.
,,,,则
解根据题意,是一元二次方程的两根,所以,.
∵,∴,.
∵方程的判别式,∴.
,故,等号当且仅当时取得;
,故,等号当且仅当时取得.
所以,,于是.
,2,3,…的平方数排成一串:149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是 1 .
解到,结果都只各占1个数位,共占个数位;
到,结果都只各占2个数位,共占个数位;
到,结果都只各占3个数位,共占个数位;
到,结果都只各占4个数位,共占个数位;
到,结果都只各占5个数位,共占个数位;
此时还差个数位.
到,结果都只各占6个数位,共占个数位.
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所以,排在第2008个位置的数字恰好应该是的个位数字,即为1.
第二试(A)
一.(本题满分20分) 已知,对于满足条件的一切实数,不等式
(1)
,求的值.
解整理不等式(1)并将代入,得
(2)
在不等式(2)中,令,得;令,得.
易知,,故二次函数的图象(抛物线)的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.
由题设知,不等式(2)对于满足条件的一切实数恒成立,所以它