文档介绍：高中函数应用题模型全总结
山东孙道斌
函数应用题主要有以下几种常见模型:
1、一次函数模型
,,。在一个月(30天)里,有20天每天可以卖出400份,其余每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同,则每天应从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?
分析:每月所赚的钱=卖报收入的总价—付给报社的总价。而收入的总数分为三部分:①在卖出400份的20天里,收入为;②在可卖出250份的10天里在份报纸中,有250份报纸可卖出,收入为;③没有卖掉的份报纸可退回报社,报社付出的钱。注意写出函数式的定义域。
解:设每天应从报社买份,易知。设每月赚元,得:
因为在其定义域上为增函数,
所以,当时,每月所获的利润最大,最大值为(元)。
答:每天应从报社买进400份,才能使每月所获的利润最大,每月可赚1170元。
评注:现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示,例如:匀速直线运动的时间和位移的关系,弹簧的伸长和拉力的关系等,对一次函数来说,当一次项系数为正时,表现为匀速增长,即为增函数,一次项系数为负时为减函数。
2、二次函数模型
例2某工厂生产的商品A,若每件定价为80元,则每年可销售80万件,政府税务部门对市场销售的商品A要征收附加税,为增加国家收入又要有利于生产发展,必须合理确定税率,根据市场调查,若政府对商品A征收附加税率为时,每年销售额将减少万件。据此,试问:
(1)若税务部门对商品A征收的税金不少于96万元,求的范围;
(2)若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高,求此时的值。
分析:将税务部门对商品A征收的税金表示出来,注意考虑一些实际情况。
解:(1)设每年征收的税金为万元,则,
由题意得:,
解之得:。
所以,的范围是。
(2)由题意知:,
,
由,
当时,。
答:当税率为4%时,税务部门获得最高税金128万元。
评注:在第二问即二次函数求最值问题,一定要注意隐含条件。所以应用题中变量的取值范围是一个非常值得重视的问题。
3、指数函数模型
例3某城市现有人口总数100万人,%,试解答下面的问题:
(1)写出该城市人口总数(万人)与年份(年)的函数关系;
(2)计算10年以后该城市人口总数();
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年);
(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人,年增长率应该控制在多少?
分析:本题为人口增长率问题,可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系,从而得到一般规律。
解:(1)1年后该城市人口总数为:
,
2年后该城市人口总数为:
,
3年后该城市人口总数为:
,
年后该城市人口总数为:
。
(2)10年以后该城市人口总数为:(万)。
(3)设年以后该城市人口将达到120万人,
即,
(年)。
(4)设年增长率为,依题意有:,
即,
由计算器计算得:,
,
%以内。
评注:在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型