文档介绍：三角函数最值与综合应用
一、求三角函数最值的一般方法
(1),其中,
(2)可先降次,整理转化为一次形式。
(3)可转化为只有分母含或函数式,或的形式,有正、余弦函数的有界性求解。
(1)可转化为的二次函数式。
(2),令,则转化为的最值,一般可用图像。
(3),一般用万能公式转化为关于的二次方程,由“判别式法”求其最值;或转化为关于的函数式后噶偶早应用“均值不等式”及“单调性”求其最值,也可以将函数式转化为的形式,由正余弦的有界性求最值。
或可转化为椭圆上的动点与定点连线的斜率的最值问题。
二、求三角函数值域的常用方法
求三角函数的值域除了判别式、总要不等式、单调性等方法除外,结合三角函数的特点还有以下常用方法:
、余弦函数以及,其中,都可以考虑利用有界性处理
2. 型,其中,再利用有界性处理。
,通过配方法来求解。
,在关系式中是,可以考虑换元法处理,如令,则。把三角问题化归为代数问题解决
,可考虑利用单调性求解。
求下列函数的值域
(1)
(2)
变式1. 求函数的值域
变式2. 求函数的最值及对应的的集合
Ⅰ
练习:
一、选择题
1.(2009全移个单位后,与函数的图像重合,则的最小值为()
A. B. C. D.
2.(2008湖南)函数在区间上的最大值是()
A. B. C. D.
二、填空题
3.(2009全国Ⅰ)若,则函数的最大值为
4.(2008辽宁)已知,,且在区间有最小值,无最大值,则
三、解答题
5.(2010辽宁)在中,分别为内角的对边,且
(1)求的大小
(2)求的最大值
6.(2009陕西)已知函数,的图像与轴的交点中,相邻连个交点之间的距离为,且图像上一个最低点为。
(1)求的解析式;
(2)当时,求的值域
7.(2008安徽)已知函数
(1)求函数的最小正周期和图像的对称轴方程;
(2)求函数在区间上的值域
8.(2008福建)已知向量,,,且为锐角。
(1)求角的大小
(2)求函数的值域
三角恒等变换
方法与技巧:
。
:尽量使函数种类最小,次数相对较低,项数最少,尽量使分母不含三角函数,尽量去掉根号或减少根号的层次,能求出具体值的应该要求出具体值。
、变换的技巧,倍角与半角的相对性,如,,,的半角,是倍角。
,寻求角之间关系的特殊性化非特殊角为特殊角,正确选用公式,灵活掌握个公式的正用、逆用、变形等。
例三角函数式的化简与证明
化简
(从角入手,化复交为单角)
(从名入手,化异名为同名)
(从从幂入手,降幂处理)
(从行入手,配方法)
变式:
求证:
练习:
一、选择题
1.(2010新课标全国)若,是第三象限角,则()
A. B. C. D.
2.(2010福建)计算的结果等于()
A. B. C. D.
3.(2010江西)是等腰直角三角形斜边上的三等分点,则()
A. B. C. D.
二、填空题
4.(2010全国Ⅱ)已知是第二象限角,,则
5.(2010浙江)函数的最小正周期是
三、解答题
6.(2010天津)已知函数。
(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(2)若,,求的值。
7.(2010安徽)设是锐角三角形,分别是内角所对边长,并且
(1)求角的值
(2)若,求(其中)
8.(2010江西)已知函数
(1)当时,求在区间上的取值范围;
(2)当时,,求的值
9.(2010湖北)已知函数,
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数的最大值,并求使取得最大值的集合
三角函数最值与综合应用习题
一选择题
,对任意的都有,则等于()
A. 2或0 B. -2或2 C. 0 D.-2或0
,
且此函数的图像如图所示,
则点的坐标是()
A. B. C. D.
,最小值为0,最小正周期为,直线其图像的一条对称轴,则下列各式中符合条件的解析式为()
A. B.
C. D.
,给出下列四个命题:
①若,则;
②的最小正周期是;
③在区间上是增函数;
④的图像关于直线对称;
其中真命题是()
A. ①②④ B. ①② C.