文档介绍：三角函数<Trigonometric)是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数:正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中,三角函数也是常用的工具。锐角三角函数在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角。则定义以下运算方式: sinA=∠A的对边长/斜边长,sinA记为∠A的正弦; cosA=∠A的邻边长/斜边长,cosA记为∠A的余弦; tanA=∠A的对边长/∠A的邻边长,tanA记为∠A的正切; 当∠A为锐角时sinA、cosA、tanA统称为“锐角三角函数”。b5E2RGbCAP常见三角函数p1EanqFDPw在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y>。在这个直角三角形中,y是θ的对边,x是θ的邻边,r是斜边,则可定义以下六种运算方法: DXDiTa9E3d基本函数英文表达式语言描述正弦函数Sinesinθ=y/r角θ的对边比斜边余弦函数Cosinecosθ=x/r角θ的邻边比斜边正切函数Tangenttanθ=y/x角θ的对边比邻边余切函数Cotangentcotθ=x/y角θ的邻边比对边正割函数Secantsecθ=r/x角θ的斜边比邻边余割函数Cosecantcscθ=r/y角θ的斜边比对边在初高中教案中,主要研究正弦、余弦、正切三种函数。注:tan、cot曾被写作tg、ctg,现已不用这种写法。RTCrpUDGiT5PCzVD7HxAsinπ/3非常见三角函数除了上述六个常见的函数,还有一些不常见的三角函数,这些运算已趋于淘汰: 函数名与常见函数转化关系正矢函数versinθ=1-cosθ余矢函数coversθ=1-sinθ半正矢函数haversθ=(1-cosθ>/2半余矢函数hacoversθ=(1-sinθ>/2外正割函数exsecθ=secθ-1外余割函数excscθ=cscθ-1单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。它也提供了一个图像,把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理,jLBHrnAILgxHAQX74J0X三角函数单位圆的方程是:x^2+y^2=1 图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角θ,并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为1,所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。对于大于2π或小于等于2π的角度,可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数:对于任何角度θ和任何整数k。周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆,也就是2π弧度或360°;正切或余切的基本周期是半圆,也就是π弧度或180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数的定义如图所示。 LDAYtRyKfEZzz6ZB2Ltk其他四个三角函数的定义在正切函数的图像中,在角kπ附近变化缓慢,而在接近角(k+1/2>π的时候变化迅速。正切函数的图像在θ=(k+1/2>π有垂直渐近线。这是因为在θ从左侧接进(k+1/2>π的时候函数接近正无穷,而从右侧接近(k+1/2>π的时候函数接近负无穷。另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义,类似于历史上使用的几何定义。特别dvzfvkwMI1rqyn14ZNXI三角函数是,对于这个圆的弦AB,这里的θ是对向角的一半,sinθ是AC<半弦),这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ是水平距离OC,versinθ=1-cosθ是CD。tanθ是通过A的切线的线段AE的长度,所以这个函数才叫正切。cotθ是另一个切线段AF。secθ=OE和cscθ=OF是割线<与圆相交于两点)的线段,所以可以看作OA沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE是exsecθ=secθ-1<正割在圆外的部分)。通过这些构造,容易看出正