文档介绍：薅1、行列式螅行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;蒂代数余子式的性质:莆①、和的大小无关;莅②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;薃③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;薀代数余子式和余子式的关系:肀设行列式:肆将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;薄将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;羂将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;葿将主副角线翻转后,所得行列式为,则;袆行列式的重要公式:莁①、主对角行列式:主对角元素的乘积;肁②、副对角行列式:副对角元素的乘积;衿③、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;薇④、和:副对角元素的乘积;蒃⑤、拉普拉斯展开式:、腿⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;芈⑦、特征值;芇对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;蒄证明的方法:薂①、;螇②、反证法;肇③、构造齐次方程组,证明其有非零解;芁④、利用秩,证明;蚀⑤、证明0是其特征值;***2、矩阵螈是阶可逆矩阵:莃(是非奇异矩阵);羂(是满秩矩阵)袀的行(列)向量组线性无关;芄齐次方程组有非零解;蒄,总有唯一解;膁与等价;艿可表示成若干个初等矩阵的乘积;肄的特征值全不为0;膂是正定矩阵;艿的行(列)向量组是的一组基;蝿是中某两组基的过渡矩阵;螅对于阶矩阵:无条件恒成立;芃薁膈矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;蒅关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆:莄若,则:螀Ⅰ、;薈Ⅱ、;芆②、;(主对角分块)膂③、;(副对角分块)肂④、;(拉普拉斯)羇⑤、;(拉普拉斯)羆3、矩阵的初等变换与线性方程组膃一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:;膁等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;蚀对于同型矩阵、,若;螆行最简形矩阵:芄①、只能通过初等行变换获得;荿②、每行首个非0元素必须为1;膀③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;蒇初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)肂若,则可逆,且;蚁②、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:;蕿③、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;芇初等矩阵和对角矩阵的概念:肃①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;螀②、,左乘矩阵,乘的各行元素;右乘,乘的各列元素;羈③、对调两行或两列,符号,且,例如:;羇④、倍乘某行或某列,符号,且,例如:;膅⑤、倍加某行或某列,符号,且,如:;膂矩阵秩的基本性质:莈①、;蚈②、;羂③、若,则;芀④、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)袇⑤、;(※)膄⑥、;(※)羃⑦、;(※)荿⑧、如果是矩阵,是矩阵,且,则:(※)芇 Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论);羄 Ⅱ、肅⑨、若、均为阶方阵,则;螁三种特殊矩阵的方幂:羀①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;蚅②、型如的矩阵:利用二项展开式;袂 二项展开式:;袀 注:Ⅰ、展开后有项;荿Ⅱ、蒅Ⅲ、组合的性质:;羃③、利用特征值和相似对角化:节伴随矩阵:蝿①、伴随矩阵的秩:;膆②、伴随矩阵的特征值:;羅③、、莀关于矩阵秩的描述:芈①、,中有阶子式不为0,阶子式全部为0;(两句话)袆②、,中有阶子式全部为0;螂③、,中有阶子式不为0;螃线性方程组:,其中为矩阵,则:蚇①、与方程的个数相同,即方程组有个方程;蚆②、与方程组得未知数个数相同,方程组为元方程;袄线性方程组的求解:袁①、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换);肇②、齐次解为对应齐次方程组的解;莇③、特解:自由变量赋初值后求得;袅由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:罿①、;螀②、(向量方程,为矩阵,个方程,个未知数)***③、(全部按列分块,其中);蚂④、(线性表出)莂⑤、有解的充要条件:(为未知数的个数或维数)膀4、向量组的线性相关性袈个维列向量所组成的向量组:构成矩阵;螄个维行向量所组成的向量组:构成矩阵;蒀含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;虿①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解;(齐次线性方程组)莄②、向量的线性表出是否有解;(线性方程组)袅③、向量组的相互线性表示 是否有解;(矩阵方程)袃矩阵与行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组和同解;(例14)肈;(例15)肄维向量线性相关的几何意义:薂①、线性相关;羁②、线性相关 坐标成比例或共线(平行);蒈③、线性相关 共面;袅线性相关与无关的两套定理:蚄若线性相关,则必线性相关;聿若线性无关,则必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)袇若维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组:薅若线性无关,则也线性无关;反之若线性相关,则也