文档介绍：膈薈蚃矩阵A的m重伴随矩阵的性质膂数学系01数本2001141105程清妹指导老师:杨忠鹏蒀肇摘要本文定义了矩阵的重伴随矩阵,并利用已有的理论成果,对的性质进行推广,主要讨论了的行列式、秩、转置和逆矩阵与的关系,及为特殊阵与为特殊阵之间的联系,;伴随矩阵;秩;特征值;数学归纳法蕿蒆0引言膄设是阶方阵,的伴随矩阵定义如下羀定义1 设是阶方阵的元素的代数余子式,则阶方阵羁,其中,称为的伴随矩阵袆袅本文推广了这一定义,给出了的重伴随矩阵的概念肂定义2 设为阶方阵,称阶方阵为的重伴随矩阵,记为聿=,蕿特别地,,蚅引理设为阶方阵,则秩膃证明:(1)当秩,即可逆时,由于,故也是可逆的,即秩;膈(2)当秩时,有,于是,从而秩;羈又因为秩,所以至少有一个代数余子式,从而又有莅秩, 于是秩羁(3)当薀引理设为阶方阵,则有蒈证明:(1)当时,由引理1知秩,如果,由引理1知肆秩,因此羂如果,令也有蚈袇(2)当时,则也,则, 当=时,秩=蚆当>2时,秩=肃证明: 当>时袂由引理1知, 秩=芈所以秩膅袃秩羃当时蚀设=,则,衿所以薄螁因此秩=秩= 设为阶方阵(),膃=蒁证明:(1)因为当,时肈莅膄蕿蒇从而得到关于的指数的一个数列,且膅羁羂袆袅肃由数列的性质得到通项公式,则肀同理可证,当,芆薆膄膈从而得到关于的指数的一个数列,且罿莆袁薁葿由数列性质得到通项公式,则肇(2)用数学归纳法证明结论羃当,时,虿取=1,有,则=,等式成立袈设时,等式成立,即=薃当时,肄=肂芇等式成立莃综上所述,当,,有袂同理可证,当,, 袃证明:若,由引理1知,当时,,则有芈若,膆即时, 可逆时,有羄=蚁证明:(数学归纳法)薅当时,,等式成立薄设时,螂当时,蝿艿综上所述,当时,, 肅证明: 若是幂等阵,则也是幂等阵。芀证明:因为,所以或肈若,由引理1知,,则螆若,可逆,则,即, 若是对合阵,则也是对合阵。反之也成立薇证明:由,得=1或=-1,且=,当时,由知,螃螁当时,由知羆芆所以,当时,有蒁反之,若,则=或=,,=1或=-1,,当时,薂所以,由知,即芁同理可证,当时,聿因此,当,时,有蒃命题得证 若是正定阵,则也是正定阵,反之为正定阵,且为偶数, 可逆时,为正定阵莀证明:若正定,则,,有蒈因为,芃又由,正定,,得正定蒁同理可证,正定,以此类推,正定蒈反之,若正定,有正定羈因为,当为偶数时,有为奇数,,当时,,正定,所以为正定阵蒂同理可证,当时,也是正定阵袁命题得证