文档介绍：蕿2008年线性代数必考的知识点膀1、行列式芅行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;膂代数余子式的性质:芁①、和的大小无关;衿②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;莅③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;蚃代数余子式和余子式的关系:羃设行列式:蚈将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;蒅将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;肄将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;蒁将主副角线翻转后,所得行列式为,则;蒇行列式的重要公式:薄①、主对角行列式:主对角元素的乘积;蒅②、副对角行列式:副对角元素的乘积;膃③、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;蒀④、和:副对角元素的乘积;蚄⑤、拉普拉斯展开式:、薂⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;蚁⑦、特征值;艿对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;蚄证明的方法:羃①、;莃②、反证法;羈③、构造齐次方程组,证明其有非零解;肈④、利用秩,证明;莄⑤、证明0是其特征值;螀2、矩阵肁是阶可逆矩阵:膈(是非奇异矩阵);螅(是满秩矩阵)薂的行(列)向量组线性无关;蝿齐次方程组有非零解;芈,总有唯一解;膅与等价;羀可表示成若干个初等矩阵的乘积;薈的特征值全不为0;芈是正定矩阵;节的行(列)向量组是的一组基;蚂是中某两组基的过渡矩阵;莇对于阶矩阵:无条件恒成立;莈蚃膀矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;莀关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆:蒇若,则:肄Ⅰ、;袂Ⅱ、;腿②、;(主对角分块)薇③、;(副对角分块)蒅④、;(拉普拉斯)莀⑤、;(拉普拉斯)袈3、矩阵的初等变换与线性方程组蚇一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:;蚂等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;肂对于同型矩阵、,若;蚇行最简形矩阵:螇①、只能通过初等行变换获得;肃②、每行首个非0元素必须为1;葿③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;螀初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)袇若,则可逆,且;蒃②、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:;膁③、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;蒈初等矩阵和对角矩阵的概念:袇①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;袄②、,左乘矩阵,乘的各行元素;右乘,乘的各列元素;虿③、对调两行或两列,符号,且,例如:;芇④、倍乘某行或某列,符号,且,例如:;羇⑤、倍加某行或某列,符号,且,如:;芅矩阵秩的基本性质:莁①、;芀②、;肇③、若,则;莂④、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)肃⑤、;(※)聿⑥、;(※)膆⑦、;(※)螃⑧、如果是矩阵,是矩阵,且,则:(※)薁 Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论);袈 Ⅱ、芆⑨、若、均为阶方阵,则;膄三种特殊矩阵的方幂:芃①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;薇②、型如的矩阵:利用二项展开式;莆 二项展开式:;薅 注:Ⅰ、展开后有项;螁Ⅱ、蚀Ⅲ、组合的性质:;蒆③、利用特征值和相似对角化:螂伴随矩阵:蒂①、伴随矩阵的秩:;荿②、伴随矩阵的特征值:;蒆③、、膂关于矩阵秩的描述:袀①、,中有阶子式不为0,阶子式全部为0;(两句话)***②、,中有阶子式全部为0;薆③、,中有阶子式不为0;薃线性方程组:,其中为矩阵,则:薂①、与方程的个数相同,即方程组有个方程;膀②、与方程组得未知数个数相同,方程组为元方程;蚆线性方程组的求解:羄①、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换);肀②、齐次解为对应齐次方程组的解;罿③、特解:自由变量赋初值后求得;螆由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:莅①、;螂②、(向量方程,为矩阵,个方程,个未知数)螈③、(全部按列分块,其中);袅④、(线性表出)蒂⑤、有解的充要条件:(为未知数的个数或维数)芀4、向量组的线性相关性蒇个维列向量所组成的向量组:构成矩阵;羅个维行向量所组成的向量组:构成矩阵;袃含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;羂①、向量组的线性相关、无关 有、无非零解;(齐次线性方程组)薀②、向量的线性表出是否有解;(线性方程组)肅③、向量组的相互线性表示 是否有解;(矩阵方程)芄矩阵与行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组和同解;(例14)莀;(例15)荿维向量线性相关的几何意义:肅①、线性相关;蚅②、线性相关 坐标成比例或共线(平行);膁③、线性相关 共面;肈线性相关与无关的两套定理:膅若线性相关,则必线性相关;肆若线性无关,则必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)蕿若维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组:膀若线性无关,则