文档介绍：第二章解线性方程组的直接法
§ 平方根法
§ 平方根法
一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解)
若n阶矩阵 A为对称正定矩阵
则det( A) > 0, AT = A
且A的顺序主子式 det Ak > 0, k = 1,2,L, n
因此A可以进行LU分解(或Doolittle分解)
记为 A = L~U~ -------------(1)
~ ~
其中, L为单位下三角阵,U为上三角阵
~ ~ ~ ~
且对于A, L,U的任意k阶顺序主子式Ak , Lk ,U k
~ ~
Ak = LkUk k = 1,2,L, n
k
det A ~ ~ ~
k = det Lk ×detUk = 1×Õuii > 0
i=1
k­1
= u~ ×u~ = det A ×u~
det Ak Õ ii kk k­1 kk
i=1
~ det Ak
ukk = > 0 (记det A0 = 1)
det Ak­1
以上 k = 1,2,L , n
因此
~ ~ ~ ~
æu11 u12 u13 L u1n ö
ç ~ ~ ~ ÷
ç u22 u23 L u2n ÷
~ ~ ~
U = ç u33 L u3n ÷
ç O M ÷
ç ÷
ç u~ ÷
è nn ø æ u~ u~ u~ ö
ç1 12 13 L 1n ÷
u~ u~ u~
æu~ ö ç 11 11 11 ÷
ç 11 ÷ ç u~ u~ ÷
u~ 1 23 L 2n
ç 22 ÷ ç u~ u~ ÷
= ç u~ ÷ ×ç 22 22 ÷
ç 33 ÷ ç O L ÷
O ~
ç ÷ ç un­1,n ÷
ç u~ ÷ 1
è nn ø ç u~ ÷
ç n­1,n­1 ÷
è 1 ø
=ˆDU1
~ ~ ~ ~ ~ ~ 2
D = diag(u11 ,u22 ,L,unn ) = [diag( u11 , u22 ,L, unn )]
Diagonal:对角
1 1
~ 2 2
U = DU1 = D D U1 ----------(2)
1 1
~ ~ 1 1 ~
A = LU ~ 2 2 2 2
= LD D U1 = (LD )(D U 1 ) =ˆLU
--------(3)
~ 1 且L和U的主对角元
L = LD 2 为非奇异下三角阵
1
2
1 为D 的主对角元,
2 为非奇异上三角阵
U = D U1 并且都是正数
1 1
由于 A = L~U~ 唯一~ 2 2
A = LD D U 1 唯一
A = LU 唯一
而 A 为对称正定阵, AT = A
T T T T
因此 A = (LU ) = U × L = LU
所以 L = U T ,U = LT -------------(4)
综合以上分析, 若n阶矩阵 A为对称正定矩阵
则有 A = LLT -------------(5)
定理1. (Cholesky分解)
设A为对称正定矩阵,则一定存在一个主对角元全是
正数的下三角阵 L,使得
A = LLT
且该分解式唯一
这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解
æ a L a L a ö æl ö
ç 11 1r 1n ÷ ç 11 ÷
ç M O M M ÷ ç M O ÷
设 A = ç ar1 L arr L arn ÷ L = çlr1 L lrr ÷
ç M M O M ÷ ç M M O ÷
ç ÷ ç ÷
èan1 L anr L ann ø èln1 L lnr L lnn ø
aij = a ji
æ a L a L a ö æl ö æl L l L l ö
ç 11 1r 1n ÷ ç 11 ÷ ç 11 r1 n1 ÷
ç M O M M ÷ ç M O ÷ ç O M M ÷
ç ar1 L arr L arn ÷ = çlr1 L lrr ÷ ×ç lrr L lnr ÷
ç M M O M ÷ ç M M O ÷ ç O M ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è an1 L anr L ann ø èln1 L lnr L lnn ø è lnn ø
i = L