自然数来源于实践人们首先认识自然数.doc

文档介绍：,然后是分数,整数,有理数,实数,复数,但怎样把这些数的性质抽象出来,再像几何学那样将其公理化,,其中一位得到公认的意大利数学家皮阿罗,他把自然数一个接着一个,不间断的性质抽象出来,,对于某些元素,存在关系后面,或者后面的数(后面的数用表示),满足下面公理:,它不在任何数的后面,,存在且仅存在一个它后面的数,.(归纳公理)具有下面性质的自然数的任何集合M若满足螆蒂蚆(1);肂蕿肀(2)如果属于M,,即M=,因为按照定义,任何满足上述定义的都是自然数集合,,但所有满足定义的集合彼此是同构的, 如果数b在的后面,我们称的前元,(1),, 任何一个不等于1的数均有前元,,则袂莆莈(1);袇肁羅(2)如果,则(因为有前元).由公理D,M=N,即所有自然数(除1外)均有前元,再由公理C, 若,则,若, 对于任何自然数,,1没有前元,所以膄芁羈膂羀衿若,().(4),M=N,,下面我们给出自然数的加法与乘法定义,并给出相应这些运算的性质,当然自然数也有减法与除法, 自然数的加法是指这样的对应:由于它,对于每一对自然数与b,有且仅有一个自然数与之对应,而且具有以下性质:螄螅蒇(1)对于任意自然数有肀薇薃螇袅肁(2)对于任意自然数与b有蒁艿肅薆羅袆由上述定义中(1)和(2)两个条件不难看出,实际已把所有自然数的加法结果给出,因为袂螇芃1+1=1'莅肄袈1+2=(1+1)'=3,…聿葿蒈由此得出所有1+k,,也就是说,这一个运算是否N×N→N的映射,×N→,令是这样的对应膇芄袀袁蕿薆对于固定的,令袆芄螅设M是这样数b的集合,,对于固定的是惟一的,,则是惟一的,即是惟一的,所以也是惟一的,所以,所以M=,所以是N×N→N的映射,,这些性质都是根据加法定义给出的.] 加法的结合律蒆薄螈膀羈肇证明设选定了两个数与b,M是所有这样数c的集合,对于它们结合律成立,(1)(2)若,则羂膈膅肇袃肃所以腿袀螁螆袃袁所以,所以M=N, 加法的交换律薅羃螆羁聿蒁证明首先证明莃肃蚈莁蒇蚆对使用归纳公理,设M是使成立的的集合,则莆膃膆(1).蒈腿膂(2)若,=N芀荿羂其次我们再对b使用归纳公理(4),对固定的,(1).蚁螇膇(2)若,则螆蒂肄肂蕿蚂蒅薂蕿所以,由归纳公理D艿羇蕿M=N芄蚂蒄下面再给出两个自然数有关性质, 对于任意数与b芇螂蚀肀膆蚇证明定理对b=1成立,,则(1),若,蒁袈膃袄羂蚁所以,即M= 对于任何两个自然数与b,(1)罿肈羃(2)蚆肁葿(3)莀螀膈证明定理中(1)和(2)不能同时成立,(1)和(3)也不能同时成立().莅膁羆假如(2)与(3)同时成立,则螁膈蚄,,,设M是这样数b的集合,,,情况(1),而