文档介绍：螃线性代数知识点总结芁第二章矩阵及其运算芆矩阵肇定义 由个数排成的行列的数表称为m行n列矩阵。简称矩阵,记作,简记为,。蒄说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵。聿扩展 几种特殊的矩阵:蚈方阵:行数与列数都等于n的矩阵A。记作:An。薆行(列)矩阵:只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。膄同型矩阵:两矩阵的行数相等,列数也相等。肀相等矩阵:AB同型,且对应元素相等。记作:A=B螇零矩阵:元素都是零的矩阵(不同型的零矩阵不同)羅对角阵:不在主对角线上的元素都是零。蚀单位阵:主对角线上元素都是1,其它元素都是0,记作:En(不引起混淆时,也可表示为E)(课本P29—P31)个人收集整理勿做商业用途膂注意 矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同。个人收集整理勿做商业用途腿莅第二节 矩阵的运算蒁矩阵的加法 设有两个矩阵,那么矩阵与的和记作,规定为罿说明只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。(课本P33)芇矩阵加法的运算规律螄;膁羀,称为矩阵的莆。(课本P33)芃数与矩阵相乘 羁数乘矩阵的运算规律(设为矩阵,为数)肂;螈;蚃。(课本P33)蚂矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。衿矩阵与矩阵相乘 设是一个矩阵,是一个矩阵,那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵,其中,,并把此乘积记作个人收集整理勿做商业用途袆注意 莆1。A与B能相乘的条件是:A的列数=B的行数。莂2。矩阵的乘法不满足交换律,即在一般情况下,,而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。袀3。对于n阶方阵A和B,若AB=BA,则称A与B是可交换的。艿矩阵乘法的运算规律螆;膃蚈,莇膅若A是n阶方阵,则称Ak为A的k次幂,即,并且,。规定:A0=E袃注意矩阵不满足交换律,即,(但也有例外)(课本P36)蝿纯量阵 矩阵称为纯量阵,作用是将图形放大倍。且有,A为n阶方阵时,有,表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。(课本P36)个人收集整理勿做商业用途蒆转置矩阵 把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做的转置矩阵,记作,如,。蚄转置矩阵的运算性质蚃;袀;袈;肄。(课本P39)莄方阵的行列式 由阶方阵的元素所构成的行列式,叫做方阵的行列式,记作或(记住这个符号)蚈注意 矩阵与行列式是两个不同的概念,n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表,而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。个人收集整理勿做商业用途羆运算性质蒃;膄;虿(课本P40)荿对称阵 设A为n阶方阵,如果满足A=AT,即那么A称为对称阵。膆说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,如果则称矩阵为反对称的。即反对称矩阵A=(aij)中的元素满足aij=-aji,i,j=1,2,…n个人收集整理勿做商业用途薀伴随矩阵 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵。螁性质 (易忘知识点)(课本P?)蒇总结 薆(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。莁(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。薈(3)矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。薅第三节逆矩阵肅定义 对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B,使得AB=BA=E则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵。,。个人收集整理勿做商业用途肁说明 蕿1A,B互为逆阵,A=B-1羈只对方阵定义逆阵。,则A的逆矩阵是唯一的。袁定理1 矩阵A可逆的充分必要条件是,并且当A可逆时,有(重要)(证明见课本P?)蚁奇异矩阵与非奇异矩阵 当时,称为奇异矩阵,当时,称为非奇异矩阵。即。肆推论 若,则(证明见课本P?)袄求逆矩阵方法 薂更好的求逆矩阵的方法--chapter3初等变换法(A,E)蒈逆矩阵的运算性质葿莃。莂。(以上证明见课本P43)袆。羄。莃总结 逆矩阵的计算方法葿;;羇第四节矩阵分块法肂矩阵分块 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。个人收集整理勿做商业用途袃分块矩阵的运算规则膀加法 A与B同型,且A、B的分块方法相同,则A与B的和定义为对应子块相加。螅数乘 。莄转置 。(先外转再内转)节乘法 首先AB有意义,其次A的列的分法与B的行的分法相同。,