文档介绍：二次根式的知识点汇总知识点一:二次根式的概念形如()的式子叫做二次根式。注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。知识点二::由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。知识点三:二次根式()的非负性()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。知识点四:二次根式()的性质()文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。知识点五:二次根式的性质知识点六:与的异同点1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的, ,而2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,:二次根式的运算(1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先分解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.=·(a≥0,b≥0);(b≥0,a>0).(4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.【例题精选】二次根式有意义的条件: 例1:求下列各式有意义的所有x的取值范围。解:(1)要使有意义,必须,由得, 当时,式子在实数范围内有意义。 (2)要使有意义,为任意实数均可, 当x取任意实数时均有意义。 (3)要使有意义,必须的范围内。当时,式子在实数范围内有意义。小练****1)当x是多少时,在实数范围内有意义?(2)当x是多少时,+在实数范围内有意义?②(3)当x是多少时,+x2在实数范围内有意义?(4)当时,有意义。()=++5,+有意义,则=,则的取值范围是。最简二次根式 例2:把下列各根式化为最简二次根式: 分析:依据最简二次根式的概念进行化简, (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 解: 同类根式: 例3:判断下列各组根式是否是同类根式: 分析:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式,所以判断几个二次根式是否为同类二次根式,首先要将其化为最简二次根式。 解: 分母有理化: 例4:把下列各式的分母有理化: 分析:把分母中的根号化去,叫做分母有理化,两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们说,这两个代数式互为有理化因子,如与,均为有理化因式。 解: 求值:例5:计算: 分析:迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容,必须掌握,要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律,寻求合理的运算步骤,得到正确的运算结果。 解:(1)原式化简: 例6:化简: 分析:应注意(1)式,(2),所以,可看作可利用乘法公式来进行化简,使运算变得简单。 解: 例7:化简练****解: 化简求值: 例8:已知: 求:的值。 分析:如果把a,b的值直接代入计算的计算都较为繁琐,应另辟蹊径,考虑到互为有理化因子可计算,然后将求值式子化为的形式。 解: 小结:显然上面的解法非常简捷,在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径,提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用,大家应有意识的总结和积累。例9:在实数范围内因式分解:[来源:学*科*网Z*X*X*K]2x2-4;【提示】先提取2,再用平方差公式.【答案】2(x+)(x-)..x4-2x2-3.【提示】先将x2看成整体,利用x2+px+q=(x+a)(x+b)其中a+b=p,ab=