文档介绍：第十二讲图像变换(二)
【目录】
一、正交变换 1
1、一维函数的正交性 1
2、二维函数的正交性 3
二、空间周期 5
三、傅立叶变换应用 6
1、图像频谱显示 6
2、特殊函数的傅立叶变换 10
2、图像滤波 15
3、图像特征识别 18
【正文】
一、正交变换
1、一维函数的正交性
【定义】
如果有N个函数:
构成一个函数集,这些函数在区间内满足下列特性:
则此函数集称为正交函数集。当时,则称函数集为归一化正交函数集。
任一函数在区间内都可以用正交函数集各分量的线性组合近似:
。
为获得最佳的近似,即求得系数,可用均方误差最小的条件求出。
【推导】
要使最小,对于每一个系数,应满足,即:
整理一下,有:
若函数集是归一化的,,则有:
【意义】
对于的正交函数集,当下述两点成立时,称为完备的正交函数集:
(1) 不存在这样的函数,且:
显然,如果能使上式成立,说明与函数集中的每一个成员都是正交的,因为就应该属于此函数集。如果函数集不含,则函数集就不完备;
(2) 如果函数在区间上可用正交函数集近似表示成:
均方误差:
则当时,必需:,函数集才完备。此时意味着:
【说明】
(1) 任一函数,若能量有限,即,总可以用有限项级数来逼近。
(2) 因为奇函数的累加仍为奇函数,偶函数的累加仍为偶函数,所以一个函数集要表示任何函数,则函数集中必需有奇函数和偶函数。
【举例】
下面考察三角函数的正交性。三角函数的表达式为:
,
其函数集为:
由于有:
所以三角级数的函数集为正交函数集。
2、二维函数的正交性
【定义】
若M阶实数矩阵满足,则称为正交矩阵;
若M阶复数矩阵满足,则称为酉矩阵。
【性质】正交归一
若为酉矩阵或正交阵,则在矩阵中各行或各列向量的模为1,任意不同行或列向量之间正交。
矩阵可表示成:
其中:
,
当为酉矩阵时,根据定义有:
故得:
同样:
可得:
这个性质说明酉阵是一个正交归一矩阵。
【性质】若为酉阵,则和也是酉阵。
因为,酉阵有:,
所以:
【性质】若是酉阵,则其行列式的模为1
由于为一个复数方阵,所以也是复数,可令:
则:
【性质】
若是酉阵,是向量,作变换,则有。
即:
【结论】
前面已经推导二维函数的变换可表示为:
要使变换可逆,则必需:
若为酉阵,则(如傅立叶变换);
若为正交阵,则(如余弦变换)。
这样的变换称为正交变换。
二、空间周期
【推导】
考察傅立叶逆变换:
可以转化为:
上式表明,图像可以看成由一组正弦函数和余弦函数加权求和得到的。加权因子为。而其中每一个正弦或余弦代表了一个频率分量。
取其中一项来分析,对于不同的、值,这个余弦函数表现不同的起伏,考察函数的最大值位置,即:
,得
x
y
N/v0
N/u0
d
这些组成了一组直线:
显然,有:
称为空间周期。
称为空间频率。
【结论】
显然,原函数变换为后,中的每一个数值代表了图像的一个频率分量的大小。
频率越大,、的值越大,在原点移到中心的频谱图像中,中心附近代表低频,外围代表高频。
图像比较平缓,表示频率比较低,图像变换快,表示频率比较高。
三、傅立叶变换应用
1、图像频谱显示
许多图像的傅立叶频谱随着频率u、v的增大而迅速减小。使得显示和观察图像的频谱遇到困难。当以图像的形式来进行显示时,高频分量变得越来越不清楚。所以通常利用以下显示函数来显示频谱图像:
或者。
【例】频谱对数运算
CLF
x=linspace(-10,10,1024);
y1=abs(sinc(x));y2=log(1+y1);y3=20*y1;y4=log(1+y3);
subplot(221),plot(x,y1);axis tight,title('abs(Fu)')
subplot(222),plot(x,y2);axis tight,title('log[1+abs(Fu)]')
subplot(223),plot(x,y3);axis tight,title('20abs(Fu)')
subplot(224),plot(x,y4);axis tight,title('log[1+20abs(Fu)]')
【例】频谱图像显示
CLF
I=imread('');
imshow(I,[]);
CLF
I=imread('');
I1=fftshift(fft2(I));
imshow(abs(I1),[]),colormap(jet(256)),colorbar
CLF
I=imread('