第二章 非线性方程求解.doc

文档介绍：第二章非线性方程求解
首先引入定义:
的解称为方程的根或函数的零点。
若,其中,且,则称为方程
的重根,或函数的重零点。
§ 根的隔离与二分法
方程求根问题一般分两步:
根的隔离:确定根所在区间,使该区间内只有方程的一个根,该区间叫隔根区间。
近似根的精确化:已知根的一个近似值后,用某种方法对其进行加工,使之满足给定的精度要求。
求隔根区间的一般方法
理论依据:
设,且,则在内至少有一个实根;若在内严格单调,则在内只有一个根。由此可得求隔根区间的几种方法。
1、验证法
验证是否成立?
先取定一点,再找一点,使得不等式成立。则为所求。
2、作图法
利用的单调性、凹凸性、对称性、奇偶性描点,画出的图象,根据图象判断隔根区间。
缺陷:只能对一些较简单的函数作分析。对复杂一点的函数,像难求的,聚点,凹凸点难求的,用此种方法效率很差。
3、作图法的改进
将,其中与的图象比较容易画出来,则与的交点的横坐标即为的根。
4、逐步扫描(逐步搜索)法
利用计算机来搜寻隔根区间(前三种方法都是手算)。
预先给定一点和步长,利用计算机重复判断

是否成立,直至找到这样的区间为止。
若经过很多步之后,仍找不到满足条件的区间,则用做步长试一试。
二分法
假定,,则在内至少有一个实根。
主要思想(步骤):
先选定两个小的正数和。
记,取其中点为,判断?若成立,则即为所求的根,停;否则进入下一步。
2、判断?若成立,说明在内有一根,则令;否则,,形成新的隔根区间.
3、对新的有根区间重复步骤1、2,仅当出现情况1时计算过程中断
.
误差分析及做多少次二分的估计:
记第次过程得到的有根区间为,有
若,则取
.
作为的近似值,此时误差为
.
考虑误差,则可通过不等式大致估计出需经多少步能达到精度要求。
由于二分法的收敛速度较慢,常用作求初始近似值。
优点:算法简单,且收敛总能得到保证。
注意: 由于在偶重根附近曲线为向上凹或向下凹,即
与的正负号相同,所以不能用二分法求偶重根。
例1:用二分法求方程在内的实根,要求。
解:,取6即可。
已知,其具体过程如下:
的符号
0
1


-
1



+
2

1