文档介绍：迭代法
迭代原理
迭代方法是依靠收敛的迭代序列来求方程根的近似值。
简单迭代法的基本思想
将方程化为等价方程,然后在隔根区间内取一点,按下式计算
()
计算结果生成数列
如果这个数列有极限,显然就是方程的根。于是可以从此数列中求得满足精度要求的近似根。
相关定义
迭代法: 上述求方程的根的方法.
迭代格式:
.
迭代函数: .
迭代初始值: .
迭代序列: .
若序列收敛,则称迭代格式收敛;否则,称迭代格式是发散的。
简单迭代法的步骤
将,其中不唯一,但总能找到。
设,且,即是隔根区间,
在内取一点,按下式计算:
(*1)
可得一个序列,若序列是收敛的,即:
对(*1)式两边取极限得:

即: 为方程的根,也就是的根。
。取。
(精确解为)。
解:对方程进行如下三种变形:
①、,
建立迭代格式:
可得:,显然这是一个发散的迭代格式。
②、,
建立迭代格式:
可得: ,迭代格式是收敛的。
③、,
建立迭代格式:
可得:,迭代格式是收敛的。
从上例可看出,对的迭代函数不唯一,建立的迭代格式有的发散有的收敛,有的收敛的快,有的收敛的慢。
这正是下面所要讨论的两个问题:收敛性问题和收敛速度问题。
二、收敛条件与误差估计
收敛条件
定理1 设在有限区间上存在,且满足如下条件:
(1)当,
即. (*2)
(2)存在正常数,使得对, (*3)
则:①在上的解存在且唯一;
②对任选的初始近似,由迭代过程产生的序列收敛到。
证明:①存在唯一性
由(*3)知,上连续,
令则上连续。
由(*2)知:

则方程= 0在上至少有一个根。
设在上有两个根
,即: 则有
其中,
只有当时,不等式才成立。
故:。
②收敛性
任取,由微分中值定理,有

,
,即。
推论若条件(*3)改为存在正常数
,对,不等式
恒成立,则定理1中的结论成立。
我们称满足定理1条件的为从的压缩映射,称定理中的常数为Lipschitz常数。
定理2 设是的一个根,在的某个邻域内存在,且存在正常数,使
, (*4)
则任取,迭代格式均收敛于,并且有下列估计式成立。
(*5)
反之,若,则迭代格式发散。
证明:首先证明条件式(*4)成立时迭代格式的收敛性。
显然,在的邻域内定理1的条件(2)成立,在根据微分中值定理和条件式(*4),任取,有
故,即定理1的条件(1)也成立。由定理1,当时,迭代格式
收敛于。
下面证明证明条件式(*4)成立时误差估计式(*5)成立。
当时,因为
故。
类似的,
上两式联立即得误差估计式(*5)。
下证时,迭代格式发散。
由于
所以迭代过程发散。

全局收敛性:对于任意给定,迭代格式均收敛,则称此格式具有全局收敛性。
局部收敛性:若存在根的邻域
使对,迭
代法均收敛,则称此迭代法局部收敛.
如定理2所提到的迭代法收敛性属于局部收敛,因为只有当选得充分接近时,迭代序列才保证收敛。
收敛速度:由(*5)可见,值愈小,迭代法收敛得愈快。
若,则收敛快;接近于1,则收敛很慢。