文档介绍：(1)l=0,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f(x)=0[],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。个人收集整理勿做商业用途薁莁肂(2)l≠0,称f(x)与g(x)是同阶无穷小。螈莃螀(3)l=1,称f(x)与g(x)是等价无穷小,记以f(x)~g(x)羃袁蚇蕿莅莃2常见的等价无穷小肁芀蒂当x→0时艿蒆蒁sinx~x,tanx~x,~x,~x蒄虿蚈1−cosx~,−1~x,~x,~.(夹逼定理)设g(x)≤f(x)≤h(x)放缩求极限芆莆袄若,则肃节莀两个重要公式羆膄螇公式1膁蚁薇公式2蚇芅羂用无穷小重要性质和等价无穷小代换薄肀螀★用泰勒公式蒇芆蒈当时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次蚂薀薃膈肄艿节膇莈膆莃膃莀薆莀袆莄莈洛必达法则葿芀袇定理1设函数、满足下列条件:蚇膂袃(1),;袁虿莂(2)与在的某一去心邻域内可导,且;莇芃螀(3)存在(或为无穷大),则羀膈芇这个定理说明:当存在时,也存在且等于;当为无穷大时,(ospital)“”型不定式,于是由洛必达法则,“”型不定式,于是由洛必达法则,,则可以继续应用洛必达法则,即聿蕿节薅肃荿二、型未定式蒂罿薅定理2设函数、满足下列条件:莆袁袅(1),;薀莈莃(2)与在的某一去心邻域内可导,且;肆羂蒇(3)存在(或为无穷大),则虿螇芈注:上述关于时未定式型的洛必达法则,,连续次施行洛必达法则,:芇袂莆(1)洛必达法则只能适用于“”和“”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“”或“”型才能运用该法则;个人收集整理勿做商业用途蒂荿节(2)只要条件具备,可以连续应用洛必达法则;螃袄羈(3)洛必达法则的条件是充分的,,(如果存在)螈膈芃利用定积分定义求极限芄螂芁基本格式(如果存在)肁蚈薆函数的间断点的分类羅袄薂函数的间断点分为两类:腿肇肁第一类间断点螅蚁荿设是函数y=f(x)的间断点。如果f(x)在间断点处的左、右极限都存在,则称是f(x)的第一类间断点。个人收集整理勿做商业用途薂蒆羆第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。蒅蚃芃(2)第二类间断点蚀膀膂第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。芆螄薇螈蕿莅闭区间上连续函数的性质羆薁肃在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。膁肈膃定理1.(有界定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)必在[a,b]上有界。螆薃袀定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。个人收集整理勿做商业用途艿蒈螄定理3.(介值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且其最大值和最小值分别为M和m,则对于介于m和M之间的任何实数c,在[a,b]上至少存在一个ξ,使得f(ξ)=c个人收集整理勿做商业用途蒇蚄螃推论:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,则在(a,b)内至少存在一个点ξ,使得f(ξ)==f(u),u=ϕ(x),如果ϕ(x)在x处可导,f(u)在对应点u处可导,则复合函数y=f[ϕ(x)]在x处可导,且有个人收集整理勿做商业用途袈螆肂对应地,由于公式不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。=ϕ(t),y=确定函数y=y(x),其中存在,且≠0,=f(x)的反函数x=g(y),两者皆可导,且f′(x)≠0袀螇袁则莅节薇4隐函数运算法则(可以按照复合函数理解)节膇螆设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定,求y′的方法如下: