文档介绍：第一章行列式
一、2、3阶行列式---之计算方法:对角线法则
1、
2、
3、克莱姆法则
4、补充****题:
(1)计算:a) b) c) (答:)
特别地:Vandermonde(范德蒙)行列式结论
(2)解方程:
(3)填空:的充分必要条件是
二、n阶行列式
1、n阶行列式定义:行列式的值等于第一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和。
2、概念:元素余子式及代数余子式
3、计算行列式方法:行列式的值等于任一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和。
4、结论:(1);(2)
(2)证明:设,以后都按第一行展开
【-1的指数可以全部下降2,由1到n-1,更好理解】
5、例题与****题:
(1)计算:a) (答:)
【解:原式
】
b) (答:)c); d);(c、d答:)
(2)解方程:; (答:)
(3)计算n阶行列式(答:)
【解:原式
】
三、n阶行列式的性质
1、性质
(1)、转置行列式值不变,即。
(2)、任意两行(列)互换,值改变符号。
(3)、如果有两行(列)的对应元素相同,或对应成比例,行列式值为零。
【补:行列式某一行(列)的所有元素全为零,行列式值为零】
(4)、行列式某一行(列)的所有元素乘以k,等于k乘以该行列式。(提取公因子!)
(5)、将行列式某一行(列)的所有元素乘以k后,再加到另一行(列)的对应元素上,行列式值不变。
(6)、行列式的任一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和为零。
2、行列式计算约定记号:
互换行列式的某两行(列),即()【值变号】
非零数k遍乘某行(列),即()【提取公因子】
某行(列)遍乘k加到另一行(列),即()【值不变】
3、特殊行列式的计算
(1)二条线型: 形如或
【称为二线型行列式,可以按照第一列或最后一列降阶展开】
例题:;
(2)主三对角型和次三对角型
例题:计算n阶行列式
解:按第一行展开
即是(递推关系!)
于是
(3)“两岸”行列式
计算行列式:;*;
解:
4、例题与****题
(1)计算(答案:160) 【注意:各行(列)元素之和为10!】
(2)计算阶行列式(答案:1)
【提示:将第一行加到第二行,所得第二行再加到第三行,如此继续,可解之!】
(3)解方程(答案:)
【提示:行列式第二行起,每一行减去第一行,可解!】
(4)计算阶行列式(答案:)
【提示:从第一行起,每一行乘以后逐次加到下一行,再按最后一行展开!】
(5)(答案:6) (6)(答案:9)
(7)(答:)(8)(答:)
(9)计算n阶行列式(答:)
*(10)(答:)
【解:各行都加到第一行,后提取,有
【注意:】
四、本章小结(略)
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第二章矩阵
一、关于矩阵的一些概念
矩阵:; n阶方阵:;
同型矩阵:行列数相同的矩阵;
行矩阵:;列矩阵:;对角矩阵:;
上、下三角矩阵:;;单位矩阵E或I:;
零矩阵O:元素全部为零的矩阵。
二、矩阵的运算
1、同型矩阵的加减法
2、数乘矩阵:
3、矩阵左乘积:设,,则乘积是个矩阵
其中【即A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和为】
注意:
A的列数=B的行数,A才能左乘B;其积为A的行数,B的列数
一般不满足交换律:,如若,则称A、B是可交换的
不满足消去律:当且,也没有
两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵
4、运算律:结合律左右分配律数乘结合律
幂:规定,,,【注意:】
5、矩阵的转置:设将行列依次互换,为A的转置矩阵,记作:
性质
6、当时,称A为对称矩阵
7、例题与****题:
(1)已知,,且求---【重点题型】
【解:,,,
,如此类推,有】
(2)矩阵为三阶矩阵,若已知||=m,求
【解:】
(3)计算
(4)计算
(答:n为奇数时,本身;n为偶数时,单位矩阵)
(5)已知, 求;,可得出什么结论?
(6)判断题;【错】;【对】
若则;【错】若且,则;【错】。【错】
(7)若A,B时可交换的,即,求证;
(8)单项选择题
设有矩阵,则下列运算中没有意义的是( D )
(A); (B); (C); (D)
若,则( C )
(A) (B) (C) (D)1
设A,B均为n阶矩阵,且,则下列成立的是( D )
(A) (B) (C) (D)
设A,