文档介绍：第1章实验数据及模型参数拟合方法
问题的提出

目录
问题的提出
在化工设计及化工模拟计算中,需要大量的物性参数及各种设备参数。这些参数有些可以通过计算得到,但大量的参数还是要通过实验测量得到。实验测量得到的常常是一组离散数据序列(xi ,yi)。
如果数据序列(xi ,yi)(为一般起见), i=1,2, …,m ,含有不可避免的误差(或称“噪声”,如图1-1所示),或者无法同时满足某特定的函数(如图1-2所示),那么,只能要求所作逼近函数ψ(x)最优地靠近样点,即向量Q=(ψ(x1), ψ(x2), …, ψ(xm))T与Y=(y1,y2, …,ym)T的误差或距离最小。按Q与Y之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数,称为拟合函数。
图1-1 含有噪声的数据
图1-2 无法同时满足某特定函数的数据序列
总目录

问题的提出
除了物性数据及设备参数需要利用数据拟合外,在化学化工中,许多模型也要利用数据拟合技术,求出最佳的模型和模型参数。如在某一反应工程实验中,我们测得了如表1-1所示的实验数据。
现在要确定在其他条件不变的情况下,转化率y和温度T的具体关系,现拟用两种模型去拟合实验数据,两种模型分别是
如何求取上述模型中的参数,并判断两种模型的优劣是化学化工工作者经常要碰到的问题,这个问题的求解将在本章下面的有关章节中进行详细的讲解。

总目录

前面已经提到按Q与Y之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数,称为拟合函数,而向量Q与Y之间的误差或距离有各种不同的定义方法,一般有以下几种。
(1)用各点误差绝对值的和表示

(2)用各点误差按绝对值的最大值表示

(3)用各点误差的平方和表示
式中R称为均方误差。由于计算均方误差的最小值的原则容易实现而被广泛采用。按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。同时还有许多种其他的方法构造拟合曲线,感兴趣的读者可参阅有关教材。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线。

总目录
——实例
实验测得二甲醇(DME)的饱和蒸气压和温度的关系,见表1-2。
由表1-2的数据观测可得,DME的饱和蒸气压和温度有正相关关系,如果以函数p=a+bt来拟合,则拟合函数是一条直线。通过计算均方误差Q
拟合得到直线方程为:
,。
图1-3 DME饱和蒸汽压和温度之间的线性拟合

总目录
序号
温度℃
蒸气压 MPa
1
-

2
-10

3
0

4
10

5
20

6
30

7
40

表1-2 DME饱和蒸气压和温度的关系
( a , b )最小值而确定直线方程。
(见图1-3 )
——实例
如果采用二次拟合,通过计算下述均方误差

拟合得二次方程为

,,具体拟合曲线见图1-4。
比较图1-3和图1-4以及各自的相关系数和平均绝对偏差可知,对于DME饱和蒸气压和温度之间的关系,用二次曲线拟合优于线性拟合。具体的计算方法及编程在下一节里介绍。
图1-4 DME饱和蒸气压和温度之间的二次拟合

总目录
线性拟合和二次拟合函数 ———线性拟合
给定一组数据(xi,yi),i=1, 2 , …, m ,作拟合直线p (x)=a + bx , 均方误差为
由数学知识可知,Q (a , b)的极小值需满足:
整理得到拟合曲线满足的方程:
该方程可用消元法或克莱姆方法解出方程(如右图所示)

总目录
线性拟合和二次拟合函数 ———线性拟合实例
下表为实验测得的某一物性和温度之间的关系数据,表中x为温度数据,y为物性数据。请用线性函数拟合温度和物性之间的关系。

解:设拟合直线p(x)=a+bx ,并计算得下表:
将数据代入法方程组(1-12)中,得到:
解方程得:a = - ,