文档介绍：第2章非线性方程求解
化工实际问题的提出
实根的对分法
割线法
化工生产中非线性方程组求解应用实例
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化工实际问题的提出
求解非线性方程是化工设计及模拟计算中必须解决的一个问题。与线性方程相比,非线性方程问题无论是从理论上还是从计算公式上,都要比线性方程复杂的多。对于一般的非线性f(x)=0,计算方程的根既无一定章程可循也无直接方法可言。例如,求解高次方程组7x6-x3+x-=0的根,求解含有指数和正弦函数的超越方程ex-sin(x)=0的零点。解非线性方程或非线性方程组也是计算方法中的一个主题。一般地,我们用符号f(x)来表示方程左端的函数,方程的一般形式表示为f(x)=0,方程的解称为方程的根或函数的零点。
通常,非线性方程的根不止一个,而任何一种方法只能算出一个根。因此,在求解非线性方程时,要给定初始值或求解范围。而对于具体的化工问题,初值和求解范围常常可根据具体的化工知识来决定。常见的雷诺数和摩擦系数关系方程在雷诺数低于4000时有以下关系式:
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化工实际问题的提出
这是一个典型的非线性方程。我们在管路设计中经常碰到。当我们已知雷诺数Re,如何根据公式(2-1)求出摩擦系数λ,这是我们在管路设计中必须首先解决的问题。对于方程(2-1)而言,无法用解析的方法求出摩擦系数,只能用数值求解的方法。如用在下面即将介绍的松弛迭代法,假设:
则利用松弛迭代公式可得:
。
同样,在n个组分的等温闪蒸计算中,通过物料和相平衡计算,我们可得到如下非线性方程:
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化工实际问题的提出
在方程(2-3 )中只有α是未知数,ki为相平衡常数,zi为进料组分的摩尔浓度,均为已知数。和上面的情况一样,方程(2-3 )也无法直接解析求解,必须利用数值的方法,借助于计算机方可精确的计算。对于这个问题的求解,可利用我们下面介绍的牛顿迭代法进行计算,也可利用其他迭代公式进行计算,如采用牛顿迭代公式,则可以得到如下的具体迭代公式:
(2-4)
饱和蒸气压是我们经常要用到的数据,虽然我们可以通过实验测量来获取饱和蒸气压的数据,但我们通常利用前人已经测量得到的数据或回归的公式来获取,这可以减轻我们大量的基础实验工作。公式(2-5)是一种常用的饱和蒸气压计算公式:
其中p为饱和蒸气压,单位为mmHg,T为温度,单位为K,A、B、C、D为已知系数。要想得到某一温度下的饱和蒸气压,直接利用公式(2-5)是无法得到的。因为公式(2-5)两边都有未知变量,并且无法用解析的方法求解,必须用数值计算的方法求解。通过上面的一些例子,我们可以发现,如果没有适当的手段和办法来求解非线性方程,那么化学化工中的许多研究、设计等工作将无法展开,这势必影响化学化工的发展,下面我们将介绍一些实用的非线性方程求解方法,并提供计算机程序。
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实根的对分法
使用对分法的条件
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使用对分法的条件
对分法或称二分法是求方程近似解的一种简单直观的方法。设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则f(x)在[a,b]上至少有一零点,这是微积分中的介值定理,也是使用对分法的前提条件。计算中通过对分区间,逐步缩小区间范围的步骤搜索零点的位置。
如果我们所要求解的方程从物理意义上来讲确实存在实根,但又不满足f(a)f(b)<0,这时,我们必须通过改变a和b的值来满足二分法的应用条件。
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计算f(x)=0的一般计算步骤如下:
1、输入求根区间[a,b]和误差控制量ε,定义函数f(x)。
2、判断: 如果f(a)f(b)<0则转下,否则,重新输入a和b的值。
3、计算中点 x=(a+b)/2以及f(x)的值
分情况处理
(1)|f(x)|<ε:停止计算x*=x,转向步骤4
(2)f(a)f(x)<0:修正区间[a,x]→[a,b],重