文档介绍：(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,:用向量a,b分别替换a,b.①当a与b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义为:三角形的两边之和大于第三边.②若a,b共线,当a与b同向时,|a+b|=|a|+|b|,当a与b反向时,|a+b|<|a|+|b|.由于定理1与三角形之间的这种联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.③定理1的推广:如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.当点B不在点A,C之间时:①点B在A或C上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|;②点B不在A,C上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.应用:[例1] 已知|A-a|<,|B-b|<,|C-c|<.求证:|(A+B+C)-(a+b+c)|<s.[思路点拨] ―→[证明] |(A+B+C)-(a+b+c)|=|(A-a)+(B-b)+(C-c)|≤|(A-a)+(B-b)|+|C-c|≤|A-a|+|B-b|+|C-c|.因为|A-a|<,|B-b|<,|C-c|<,所以|A-a|+|B-b|+|C-c|<++=(1)比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明;(2)综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,:①若a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|;②若|a-b|<1,则|a|<|b|+1;③若|x|<2,|y|>3,则<;④若AB≠0,则lg≥(lg|A|+lg|B|).其中正确的命题有( ) :选A ∵|a+b|=|(b-a)+2a|≤|b-a|+2|a|=|a-b|+2|a|,∴|a+b|-2|a|≤|a-b|,①正确;∵1>|a-b|≥|a|-|b|,∴|a|<|b|+1,②正确;∵|y|>3,∴<.又∵|x|<2,∴<,③正确;2=(|A|2+|B|2+2|A||B|)≥(2|A||B|+2|A||B|)=|A||B|,∴2lg≥lg|A||B|.∴lg≥(lg|A|+lg|B|),④,b∈R且a≠0,求证:≥-.证明:①若|a|>|b|,左边==≥=.∵≤,≤,∴+≤.∴左边≥=右边.②若|a|<|b|,左边>0,右边<0,∴原不等式显然成立.③若|a|=|b|,[例2] (1)求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.(2)如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集为空集,求实数a的取值范围.[思路点拨] 利用绝对值三角不等