文档介绍：第二章系统数学模型及其相互转换
仿真研究就是首先根据实际物理系统的数学模型,将它转换成能在计算机上运行的仿真模型,然后利用计算机程序将仿真模型编程到计算机上进行数值计算的过程。从计算方法学中我们知道,微分方程的数值解基本上是针对高阶微分方程组的。而描述系统的数学模型有多种表示形式,这些表示形式之间是可以相互转换的。因此本章对几种常见的表示形式进行归纳,并讨论如何转换成易于仿真的状态空间表达形式。
第二章系统数学模型及其相互转换
本章主要讲解系统数学模型及其相互转换,介绍了系统仿真所使用的各类数学模型的表示以及相互间的转换。
系统的数学模型
实现问题
从系统结构图向状态方程的转换
连续系统的离散化方程
系统的数学模型
在控制理论中,我们知道表述连续系统的数学模型有很多种。但基本上可以分为连续时间模型、离散时间模型和连续离散混合模型。本节将对他们的形式作一介绍,并且我们还将介绍目前在不确定系统分析时经常使用的不确定性模型。考虑到Matlab语言的普及性,在每一部分介绍中我们还将向读者介绍如何使用Matlab语言来描述这些模型,以及模型之间的转换。
系统的数学模型
连续系统的数学模型
连续系统的数学模型通常可以用以下几种形式表示:微分方程、传递函数、状态空间表达式。本节仅对这些数学模型做简单复习,以便于在建立仿真程序时,选择适当的系统数学模型形式。
一、微分方程
一个连续系统可以表示成高阶微分方程,即
()
系统的数学模型
初始条件为:
式中: —系统的输出量; —系统的输入量。
若引进微分算子则()式可以写成
即
不失一般性,令便可写成下面的形式
()
系统的数学模型
二传递函数
对()式两边取拉普拉斯变换,假设及的各阶导数(包括零阶)的初值均为零,则有
()
式中—输出量的拉普拉斯变换;
—输入量的拉普拉斯变换。
于是系统()式的传递函数描述形式如下:
()
系统的数学模型
将式()与式()比较可知,在初值为零的情况下,用算子所表示的式子与传递函数表示的式子在形式上是完全相同的。
三状态空间表达式
线性定常系统的状态空间表达式包括下列两个矩阵方程:
()
()
()式由个一阶微分方程组成,称为状态方程;
()式由个线性代数方程组成,称为输出方程。
系统的数学模型
式中, 为维的状态向量; 为维的控制向量; 为维的输出向量;为维的状态矩阵,由控制对象的参数决定; 为维的控制矩阵; 为维的输出矩阵; 为维的直接传输矩阵。如果表示该系统的传递函数为严格真分式,则为零。
假如一个连续系统可用微分方程来描述,即
()
系统的数学模型
引入各状态变量
()
则有
()
系统的数学模型
将上述个一阶微分方程组写成矩阵形式可得
()
()
其中
()