文档介绍：附录A线性常微分方程本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系,因此在本附录里,我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。把包含未知函数和它的j阶导数的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式()其中n称为方程的阶数,和是给定的函数。可微函数在区间I上满足方程(),则称其为常微分方程()在I上的一个解。,称为方程()的自由项,当自由项时方程()称为是齐次方程,否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的,我们将方程的全部解构成的集合称为解集合,解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解,而某个给定的解称为方程的特解。在本附录里,我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。.()当,方程退化为,()假设不恒等于零,则上式等价于而,从而()的通解为()对于非齐次一阶线性常微分方程(),在其两端同乘以函数注意到上面等式的左端因此有两端积分其中C是任意常数。,则一阶线性非齐次常微分方程()的通解具有如下形式()其中C是任意常数。观察()式和()式,我们发现一阶线性非齐次常微分方程()的解等于一阶线性齐次常微分方程()的通解加上函数。容易验证,是方程()的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。例1求解一阶常微分方程解此时,由()式,解为其中C是任意常数。,()称为二阶线性常微分方程,其中都是变量x的已知连续函数。称()为与()()解的结构。 如果函数是线性齐次方程()的两个解,则函数仍为该方程的解,其中是任意的常数。定理1说明齐次线性常微分方程()的解如果存在的话,一定有无穷多个。为了说明齐次线性常微分方程()通解的结构,首先给出函数线性无关的定义。,如果存在n个不全为零的常数,使得在区间I上恒成立,则称函数在区间上线性相关,否则称为线性无关。例如函数在整个数轴上是线性相关的,而函数在任何区间内是线性无关的。特别的,对于两个函数的情形,它们线性相关与否,只需要看它们的比值是否为常数即可,比值为常数,那么它们线性相关,否则线性无关。有了函数线性无关的概念,就有如下二阶线性齐次微分方程()通解结构的定理。()中,函数在区间上连续,则方程()一定存在两个线性无关的解。类似于代数学中齐次线性方程组,二阶线性齐次常微分方程的解集合也存在基础解系。 若是二阶线性齐次常微分方程()的两个线性无关的特解,则是该方程的通解,其中是任意的常数。()的任何两个线性无关的特解构成其基础解系。关于二阶线性非齐次常微分方程()的通解, 若函是方程()的一个特解,是方程()相伴的齐次方程的通解,则是二阶线性非齐次常微分方程()的通解。,()的通解的一般步骤:求解与()相伴的齐次方程()的线性无关的两个特解,得该齐次方程的通解;求二阶线性非齐次常微分方程()的一个特解,那么方程()的通解为对于一些相对复杂的问题,如下的线性微分方程的叠加原理是非常有用的。 设二阶线性非齐次常微分方程为, ()且分别是和的特解,则是方程()的特解。, ()其中均为常数,则称为二阶常系数线性常微分方程。以下分两种情形讨论方程()的解法。一、二阶常系数线性齐次方程的解法此时问题为, ()考虑到方程中的系数均为常数,可以猜想该方程具有形如的解,其中r为待定常数,将和及代入方程得,,由于,因此,只要r满足方程,()即只要r是上述一元二次方程的根时,就是()的解,方程()称为方程()的特征方程,它的根称为特征根。关于特征方程()的根与微分方程()的解的关系有如下结论。特征方程具有两个不相等的实根,即。此时函数都是微分方程()的解,且因常数,所以线性无关,,即。这时函数是微分方程()的一个特解,还需另找一个与之线性无关的特解。为此设,其中为待定的函数,将及其一、二阶导数代入方程()得,,