文档介绍：§、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)就叫做奇函数.判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是:(1)考查定义域是否关于;(2)根据定义域考查表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x).若,则f(x)为奇函数.若f(-x)=,则f(x)为偶函数.若f(-x)=且f(-x)=,则f(x)既是奇函数又是偶函数.若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数.要点梳理f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)原点对称f(-x)=-f(x)f(x)-f(x)f(x)(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性(填“相同”、“相反”).(2)在公共定义域内,①两个奇函数的和是,两个奇函数的积是偶函数;②两个偶函数的和、积是;③一个奇函数,.(2008·福建理,4)函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为.解析设g(x)=x3+sinx,很明显g(x)是一个奇函数.∴f(x)=g(x)+1.∵f(a)=g(a)+1=2,∴g(a)=1,∴g(-a)=-1,∴f(-a)=g(-a)+1=-1+1=(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为.解析依题意f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(6)=f(2)=f(0+2)=-f(0),又∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,∴f(6)=-f(0)=(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则f(a+1)f(b+2)(用“≥”,“≤”,“<”,“>”填空).解析∵f(x)是偶函数,∴b=(x)在(-∞,0)递增,∴0<a<1,∴a+1<b+2,故f(a+1)>f(b+2).(x)=是奇函数,则实数a的值为.解析f(x)的定义域为R且为奇函数0>(x),g(x)在区间[-a,a](a>0)上都是奇函数,有下列结论:①f(x)-g(x)在[-a,a]上是奇函数;②f(x)+g(x)在[-a,a]上是奇函数;③f(x)·g(x)在[-a,a]上是偶函数;④f(0)+g(0)=0,则其中正确结论的个数是.解析∵f(x),g(x)都是定义域[-a,a]上的奇函数∴f(-x)-g(-x)=-f(x)+g(x)=-[f(x)-g(x)],∴①正确.又任取x∈[-a,a],则f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)],∴②正确.又f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x),∴③正确.又∵f(x),g(x)在x=0处都有定义,且为奇函数,∴f(0)=0,g(0)=0,∴f(0)+g(0)=0,故④.(1)f(x)=·;(2)f(x)=log2(x+)(x∈R);(3)f(x)=lg|x-2|.【思维启迪】先求函数的定义域,再判断f(-x)与f(x)的关系.解(1)∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1,1}.∵f(1)=0,f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既是奇函数又是偶函数.题型一函数奇偶性的判断兼滚航喘饮***.(2)方法一易知f(x)的定义域为R,又∵f(-x)=log2=log2=-log2(x+)=-f(x),∴f(x)是奇函数.方法二易知f(x)的定义域为R,又∵f(-x)+f(x)=log2[-x+]+log2(x+)=log21=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.(3)由|x-2|>0,得x≠2.