文档介绍：第1讲坐标系
【2013年高考会这样考】
考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题.
【复习指导】
复习本讲时,要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点,这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决,同时复习以基础知识、基本方法为主.
基础梳理
在平面上取一个定点O叫做极点;自点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系(如图).设M是平面上的任一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角,(ρ,θ)称为点M的极坐标,记作M(ρ,θ).
把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,,设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则或
若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin (θ0-α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π-θ0;
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;
(3)直线过M且平行于极轴:ρsin θ=b.
若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆方程为
ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;
(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos_θ;
(3)当圆心位于M,半径为a:ρ=2asin_θ.
双基自测
(-,),那么它的极坐标可表示为________.
解析直接利用极坐标与直角坐标的互化公式.
答案
=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________.
解析∵ρ=2sin θ+4cos θ,∴ρ2=2ρsin θ+4ρcos θ.
∴x2+y2=2y+4x,即x2+y2-2y-4x=0.
答案 x2+y2-4x-2y=0
3.(2011·西安五校一模)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标为________.
解析ρ=2sin θ的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,ρcos θ=-1的直角坐标方程为x=-1,联立方程,得解得即两曲线的交点为(-1,1),又0≤θ<2π,因此这两条曲线的交点的极坐标为
.
答案
,直线l的方程为ρsin θ=3,则点到直线l的距离为________.
解析∵直线l的极坐标方程可化为y=3,点化为直角坐标为(,1),
∴点到直线l的距离为2.
答案 2
5.(2011·广州调研)在极坐标系中,直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长为________.
解析由ρsin=2,得(ρsin θ+ρcos θ)=2可化为x+y-2==4可化为x2+y2=16,由圆中的弦长公式得:2 =2 =4.
答案 4
考向