文档介绍：第1讲坐标系
【复习指导】
复习本讲时,要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点,这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决,同时复习以基础知识、基本方法为主.
基础梳理
在平面上取一个定点O叫做极点;自点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系(如图).设M是平面上的任一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角,(ρ,θ)称为点M的极坐标,记作M(ρ,θ).
把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,,设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则或
若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin (θ0-α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π-θ0;
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;
(3)直线过M且平行于极轴:ρsin θ=b.
若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆方程为
ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;
(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos_θ;
(3)当圆心位于M,半径为a:ρ=2asin_θ.
双基自测
(-,),那么它的极坐标可表示为________.
=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________.
(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标为________.
,直线l的方程为ρsin θ=3,则点到直线l的距离为________.
,直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长为________.
考向一极坐标和直角坐标的互化
【例1】设点A的极坐标为,直线l过点A且与极轴所成的角为,则直线l的极坐标方程为________________.
【训练1】在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,-).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是________.
考向二圆的极坐标方程的应用
【例2】在极坐标系中,若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cos θ于A、B两点,则|AB|=________.
【训练2】在极坐标系中,P,Q是曲线C:ρ=4sin θ上任意两点,则线段PQ长度的最大值为________.
考向三极坐标方程的综合应用
【例3】如图,在圆心的极坐标为A(4,0),半径为4的圆中,求过极点O的弦的中点的轨迹.
【训练3】从极点O作直线与另一直线ρcos θ=4相交于点M,在OM上取一点P,使|OM|·|OP|=12,求点P的轨迹方程.
高考中极坐标问题的求解策