文档介绍：第二章行列式
学时:18学时。
教学手段:
课堂讲授与学生自学提出问题进行讨论相结合,教师辅导答疑,学生演练****题。
基本内容和教学目的:
基本内容:置换概念,行列式的定义、性质及其计算。
教学目的:
,
。
本章的重点和难点:
重点行列式的计算
难点行列式概念,行列式的展开定理及用定义证明行列式性质
§ 引言
§ 引言
解方程是代数中一个基本问题,在中学我们学过一元、二元、三元以至四元一次线性方程组。在解线性方程组时,我们曾用代入消元法和加减消元法来解线性方程组。例如,对二元一次方程组
()
利用加减消元法,由
和
得
若
,则有
我们用记号
表示
,
+
-
若
,则
是方程组()的公式解。
对三元一次线性方程组
()
若
+
-
则
是方程组()的公式解。
这里
是分别用
代替
中第1
列,第
2列,第3列所得的行列式。
由此,我们引入了二阶行列式和三阶行列式的定义,同时给出了二元一次和三元一次线性方程组的公式解。
我们自然要问,对于n元一次线性方程组
()
是否也有类似于()、()的公式解?
这首先就必须解决:能否把二阶、三阶行列式推广到n阶行列式?要解决这个问题,必须回答以下一系列问题:
这个n阶行列式如何定义?
n阶行列式中一共包含有多少项?
每一项由哪些元素组成?
哪些项前面带正号?
哪些项前面带负号?
有了n阶行列式的定义后,我们才能研究方程组()有没有类似于二元、三元方程组的公式解。
§ 排列
一、排列与对换
排列的定义:
由n个数码1,2,…,n组成的一个无重复的有序数组称为这n个数码的一个排列,简称为n元排列。
例如,
312是一个3元排列,2341是一个4元排列,45321是一个5元排列,等等。
3元排列共有多少种不同的排列?
123 132 213 231 312 321
n元排列共有多少种不同的排列?
在n元排列中,只有123…n这个排列是按自然顺序排列,其他排列或多或少破坏自然排列。
反序的定义:
在一个n元排列中,如果有一个较大的数码排在一个较小的数码前面,则称这两个数码在这个排列中构成一个反序,一个n元排列中所有反序的总和称为这个排列的反序数,记为
或
。
例如:
一般地,
这是计算一个n元排列的反序数的一般方法,特别在证明题中有用。