文档介绍：0引言单调性是函数和数列的一个重要性质,,、归纳法、使用重要不等式法、差比法、比商法五个角度研究数列和函数的单调性证法,进而利用单调有界函数(或数列)必存在极限原理来求极限,并且就几个具有特殊形式的极限问题在形式上进行了推广,得到新的命题及推论,并利用单调性证法对其进行加以证明。1利用微分法证明单调性求极限例1证明:存在,并求极限值。证明:(1)证明存在。事实上,因为在上可导且单增,所以,即有下界。设在上单调递增且为有界的连续函数,又在内有二阶导数,且又因为递减,综上知存在,设为L(2)求L。由,现证L=0,若不然,,由极限的保号性,存在N,若时,有,在上应用微分中值定理,有(N固定,当)当在单增有上界极限存在矛盾。所以只有=0例2设在上连续可微,且求证存在。证明:单调性:由当时,所以在单增有界性:由已知(因为)由的表达式可见可积,且由积分单调性知所以存在。2用归纳法证明单调性求极限例3设(n层根号,)证明:用归纳法证单调递增,且以为上界。设且那么,即单调有上界,故存在极限例4若,,,则数列为单调有界数列,:(i)当,因为,,即,,所以,即,,均有,则当时,有,即,所以,,,因为,,由根的存在原理知内必有一正根,而在上无根,,即,,所以,但是,①,即;②假设当时均有,则当时,有,①②及数学归纳法可知,.(ii)当时,(i)(ii)可知数列是单调有界数列,()证明:收敛于同一极限证:需要找到的关系以及的关系,利用重要不等式有故对任意有,以下证单调性,首先,单调递减,为研究单调性,需要知道函数关于一个变量x或y的单调性,由于且注意所以单调。有界性:单减且有上界,由递推式中任一个求极限,如令所以例6证明数列收敛,其中,,,、猜想、分析可将例6推广为以下更一般的形式:命题2若,定义,,,,则=,,对任意自然数都有:.,,因为,,所以,:存在,设为,对两边同时取极限得:,,,时,::现与同号,与同号……,与同号,故当时单减,当时单增,且,单减时有下界1,单增时有上界2,根据单调有界原理,存在极限,设为A容易求得例8已知,,.:命题3若,,,:,,,,,即,所以,从而,于