材料力学笔记第五章［DOC可编辑］.doc

文档介绍：材料力学(土)笔记
第五章梁弯曲时的位移
——挠度及转角
为研究等直梁在对称弯曲时的位移
取梁在变形前的轴线为轴,梁横截面的铅垂对称轴为轴
而平面即为梁上荷载作用的纵向对称平面
梁发生对称弯曲变形后,其轴线将变成在平面内的曲线
度量梁变形后横截面位移的两个基本量是
挠度:横截面形心(即轴线上的点)在垂直于轴方向的线位移
转角:横截面对其原来位置的角位移
梁变形后的轴线是一条光滑的连续曲线,且横截面仍与该曲线保持垂直
因此横截面的转角也就是曲线在该点处的切线与轴之间的夹角
度量等直梁弯曲变形程度的是曲线的曲率
梁的变形还受到支座约束的影响
通常就用这两个位移量来反映梁的变形情况
梁轴线弯曲成曲线后,在轴方向也将发生线位移
但在小变形情况下,梁的挠度远小于跨长,梁变形后的轴线是一条平坦的曲线
横截面形心沿轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量,可略去不记
因此在选定坐标后,梁变形后的轴线可表达为
式中,为梁在变形前轴线上任一点的横坐标;为该点的挠度
梁变形后的轴线称为挠曲线,在线弹性范围内,也称为弹性曲线
上述表达式则称为挠曲线(或弹性曲线)方程
由于挠曲线为一平坦曲线,故转角可表达为
称为转角方程
即挠曲线上任一点处的切线斜率可足够精确地代表该点处横截面的转角
由此可见,求得挠曲线方程后,就能确定梁任一横截面挠度的大小,指向及转角的数值
正值的挠度向下,负值的挠度向上
正值的转角为逆时针转向,负值的转角为顺时针方向

为求得梁的挠曲线方程,利用曲率与弯矩间的物理关系,即
式中曲率为度量挠曲线弯曲程度的量,是非负的
这是梁在线弹性范围内纯弯曲情况下的曲率表达式
在横力弯曲时,梁横截面上除弯矩外尚有剪力
但工程用梁,其跨长一般均大于横截面高度的10倍
剪力对于梁位移的影响很小,可略去不计,故该式子依然适用
式中的和均为的函数,即
在数学中,平面曲线的曲率与曲线方程导数间的关系有
取轴向右为正,轴向下为正时
曲线凸向上时为正,凸向下时为负
而按弯矩的正、负号规定,梁弯曲后凸向下时为正,凸向上为负,符号相反
于是得到
由于梁的挠曲线为一平坦曲线,因此,与1相比十分微小可以略去不计
故上式可近似的写为
上式略去了剪力的影响,并略去了项
故称为梁的挠曲线近似微分方程
若为等截面直梁,其弯曲刚度为一常量,上式可改写为
对于等直梁,上式进行积分,并通过由梁的变形相容条件给出的边界条件确定积分常数
即可求得梁的挠曲线方程
当全梁各横截面上的弯矩可用单一的弯矩方程表示时,梁的挠曲线近似微分方程仅有一个
将上式的两端各乘以,经积分一次,得
再积分一次,即得
两式子中积分常数、可通过挠曲线的边界条件确定
例如在简支梁中,左右铰支座处的挠度均等于零
在悬臂梁中,固定端处的挠度和转角均等于零
确定积分常数、后,就分别得到梁的转角方程和挠曲线方程
从而可以确定任一横截面的转角和挠度
和的几何意义
由于以为自变量,在坐标原点即处的定积分恒等于零
因此,积分常数
,
式中,和分别表示坐标原点处截面的转角和挠度
若梁上的荷载不连续
即分布荷载在跨度中间的某点处开始或结束,以及集中荷载或集中力偶作用处
梁的弯矩需分段写出,