文档介绍：第三章机械能守恒
3-1 有一列火车,总质量为M,,并走了长度为s的路程之后停下来。若机车的牵引力不变,且每节车厢所受的摩擦力正比于其重量而与速度无关。问脱开的那节车厢停止时,它距列车后端多远。
解:每节车厢所受的阻力为,牵引力; 节车厢的前进力为.
[方法一]:在以匀速v0前进的参照系看,落后一节车厢停止时落后的距离为, 节车厢多走的距离为; 此时最后一节车厢与列车后端相距.
[方法二]:以地面为参考系, 则,;且. 由此解得,;最后得
.
3-2 一质点自球面的顶点由静止开始下滑,设球面的半径为R,球面质点之间的摩擦可以忽略,问质点离开顶点的高度h多大时开始脱离球面。
解:质点脱离球面时,要求球面对它的正压力N = 0.
由能量守衡,向心力公式, 及角度关系;
最后解得
3-3 如本题图,一重物从高度为h处沿光滑轨道滑下后,在环内作圆周运动。设圆环的半径为R,若要重物转至圆环顶点刚好不脱离,高度h至少要多少?
解:由能量守恒和向心力公式, ;
最后解得, 即高度h至少要为5R/2.
3-4 一物体由粗糙斜面底部以初速v0冲上去后又沿斜面滑下来,回到底部时的速度减为v1,求此物体达到的最大高度。
解:设滑动摩擦力为fr , 则由功能原理, ;
可解得.
3-5 如本题图,物体A和B用绳连接,A置于摩擦系数为m的水平桌面上,B在滑轮下自然下垂。设绳与滑轮的质量都可忽略,绳不可伸长。已知两物体的质量分别为mA和mB,求物体B从静止下降一个高度h后所获得的速度,
解:由滑动摩擦力, 及功能原理;
可解得.
3-6 用细线将一质量为m的大圆环悬挂起来。两个质量均为M的小圆环套在大圆环上,可以无摩擦地滑动。若两小圆环沿相反方向从大圆环顶部自静止下滑,求在下滑过程中,q 角取什么值时大圆环刚能升起。
解:大圆环上升时,细线的拉力T= 0. 此时小环对大环而施一向上压力N, 且.
又小环受一向下压力N , 其运动方程为; 再加上能量守恒公式;可解得
3-7 如本题图,在劲度系数为k的弹簧下挂质量分别为m1和m2 的两个物体,开始时处于静止。若把m1、m2之间的连线烧断,求m1的最大速度
解:设弹簧原长为y0 , m1+m2处于静止时长为y2 , m1静止时长为y1 ,剪断m2后,m1经过其平衡位置时,速度最大,记为vmax . 由弹性力公式知
, ;
与机械能量守恒公式一起,解得
.
3-8 劲度系数为k的弹簧一端固定在墙上,另一端系一质量为mA的物体。当把弹簧的长度压短x0后,在它旁边紧贴着放一质量为mB的物体。撤去外力后,设下面是光滑的水平面,求:(1)A、B离开时,B以多大速率运动;(2) A距起始点移动的最大距离。
解:(1)设B离开时的速率为vB , 则由机械能量守恒公式,
可解得
(2)若A距平衡位置的最大距离为x0m , 则由机械能量守恒公式
, 可解得;
故A距起始点移动的最大距离为.
3-9 如本题图,用劲度系数为k的弹簧将质量为mA和mB的物体连接,放在光滑的水平面上。mA紧靠墙,在mB上施力将弹簧从原长压缩了长度x0,当外力撤去后,求:(1) 弹簧和mA、mB所组成的系统的质心加速度的最大值;(2)