文档介绍：羃荿蚃莅蒃衿一、带余除法的定义及性质:莃膁螈一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有a÷b=q……r,也就是a=b×q+r,莈薃薄0≤r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里:蒀蕿袀(1)当时:我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商膇蚃薁(2)当时:我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商袁芁蒇一个完美的带余除法讲解模型:羆羆薄如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数。节蝿芁这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。罿肆羈二、三大余数定理:,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。肄罿蚁例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等薇芆螀于4,即两个余数的和3+,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。芆莆螄例如:23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。肂袀肇例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。肇薆袄当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。蒃芈蒃例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:a≡b(modm),左边的式子叫做同余式。蚅蚅羃同余式读作:a同余于b,模m。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论:羁蒈薀若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除蚈螅莈用式子表示为:如果有a≡b(modm),那么一定有a-b=mk,k是整数,即m|(a-b)莂膀蚅三、弃九法原理:蒇袅肃在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的:螃薈羁例如:检验算式膆羅肀1234除以9的余数为1膄莀蚈1898除以9的余数为8艿肅膃18922除以9的余数为4莁肁莂678967除以9的余数为7羈膅蒈178902除以9的余数为0螁葿蒇这些余数的和除以9的余数为2螆膅膃而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。膂芁螃上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。薅芅芀而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”。薃虿膆所以我们总结出弃九发原理:任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。薈莄芃以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可。蚀莁膄利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用莇蒄蚇注意:弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确。肁衿艿例如:检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的膆薄莃但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。蒂薁莀四、中国剩余定理::袃罿羇中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题:“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?”答曰:“二十三。”羈蚄蒃此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”。芄螀螁韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。蚆螄膁我们先考虑下列的问题:假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少?蒀膈螆首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积),然后再加3,得9948(人)。蒅袄薃