文档介绍：蚁肁膇矩阵A的m重伴随矩阵的性质蚅数学系01数本2001141105程清妹指导老师:杨忠鹏螀薁摘要本文定义了矩阵的重伴随矩阵,并利用已有的理论成果,对的性质进行推广,主要讨论了的行列式、秩、转置和逆矩阵与的关系,及为特殊阵与为特殊阵之间的联系,;伴随矩阵;秩;特征值;数学归纳法肂羀0引言蚈设是阶方阵,的伴随矩阵定义如下蒄定义1 设是阶方阵的元素的代数余子式,则阶方阵芁,其中,称为的伴随矩阵荿莈本文推广了这一定义,给出了的重伴随矩阵的概念薆定义2 设为阶方阵,称阶方阵为的重伴随矩阵,记为薃=,蝿特别地,,腿引理设为阶方阵,则秩莃证明:(1)当秩,即可逆时,由于,故也是可逆的,即秩;蚁(2)当秩时,有,于是,从而秩;芈又因为秩,所以至少有一个代数余子式,从而又有薅秩, 于是秩蒄(3)当袀引理设为阶方阵,则有蚇证明:(1)当时,由引理1知秩,如果,由引理1知莅秩,因此蒆如果,令也有膂莁(2)当时,则也,则, 当=时,秩=膀当>2时,秩=薇证明: 当>时莆由引理1知, 秩=螁所以秩虿莇秩膃当时膄设=,则,肈所以肇芄因此秩=秩= 设为阶方阵(),莆=莀证明:(1)因为当,时膁薈肃螃蚀从而得到关于的指数的一个数列,且芈膅袁肀螅芆由数列的性质得到通项公式,则芃同理可证,当,葿薅肃莂从而得到关于的指数的一个数列,且衿芆肅蒀莈由数列性质得到通项公式,则羆(2)用数学归纳法证明结论膆当,时,袃取=1,有,则=,等式成立螇设时,等式成立,即=螆当时,羃=羁蒁等式成立蒇综上所述,当,,有羅同理可证,当,, 螂证明:若,由引理1知,当时,,则有蒂若,艿即时, 可逆时,有袄=薀证明:(数学归纳法)蝿当时,,等式成立螈设时,羅当时,羂膈综上所述,当时,, 腿证明: 若是幂等阵,则也是幂等阵。蒃证明:因为,所以或芁若,由引理1知,,则蚅若,可逆,则,即, 若是对合阵,则也是对合阵。反之也成立蚀证明:由,得=1或=-1,且=,当时,由知,蚂蚀当时,由知膀膆所以,当时,有蚄反之,若,则=或=,,=1或=-1,,当时,螅所以,由知,即膁同理可证,当时,羈因此,当,时,有蚆命题得证 若是正定阵,则也是正定阵,反之为正定阵,且为偶数, 可逆时,为正定阵蒃证明:若正定,则,,有莈因为,莇又由,正定,,得正定薄同理可证,正定,以此类推,正定蚁反之,若正定,有正定蒀因为,当为偶数时,有为奇数,,当时,,正定,所以为正定阵肄同理可证,当时, 若是正交阵,则是正交阵。反之也成立芆证明:由已知得,且或袁当时,,羆由上述可得时,,有,即为正交阵袂若,当,蕿,螈由,,知螇同理可证,当时,有羄所以,,,有,即为正交阵羁综上所述,若是正交阵,则是正交阵膇反之,若,且或,