文档介绍：芄莃膆函数与方程的思想方法羁莆肆【内容概述】:蚅肅袂函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系。一个函数若有表达式,那么这个表达式就可以看成一个方程;一个方程,它的两端可以分别看成一个函数。许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。蚀蒆莂(1)函数的思想,是用运动和变化的观点、集合与对应的思想,去分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。肆蒃袈(2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。葿薆螄(3)函数数学和方程数学是密切相关的,对于函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程f(x)=0,也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。函数问题(例如求反函数,求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解,方程问题也可以转化为函数问题来求解,如解方程f(x)=0,就是求函数y=f(x)的零点。蒇芅袂函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式。蒂蚆薈数列的通项或前n项和是自变量为自然数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要。薄蚃芆函数f(x)=(n∈N*)与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。芁螆薃解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,涉及到二次方程与二次函数的有关理论,羅莄羂立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。聿肀罿[典型例题]莅袂肈一:运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。肂膀薆【例1】已知,(a、b、c∈R),则有()螆薄肂(A)(B)(C)(D)袁芀莀【解析】法一:依题设有a·5-b·+c=0***羂蒆∴是实系数一元二次方程的一个实根;薀荿莅∴△=≥0∴故选(B)莄螄膁法二:去分母,移项,两边平方得:荿葿螁≥10ac+2·5a·c=20ac螅膂膈∴故选(B)莂蕿膄【点评】解法一通过简单转化,敏锐地抓住了数与式的特点,运用方程的思想使问题得到解决;解法二转化为b2是a、c的函数,运用重要不等式,思路清晰,水到渠成。膆袄芁【备用题】膁蕿膂(1)已知关于的方程-(2m-8)x+-16=0的两个实根、满足<<,则实数m的取值范围_______________。薇莁蚆答案:;羀虿***蚄肃莁x螈蝿艿2肄薁莈1螁衿羆y蒅芃蒁0(2)已知函数的图象如下,则()薀罿蚀(A)(B)袆蚁肀(C)(D)艿肈螅答案:(3)求使不等式≤·对大于1的任意x、y恒成立的a的取值范围。蒄膅薇二:构造函数或方程解决有关问题:肁膈蒃【例2】已知,t∈[,8],对于f(t)值域内的所有实数m,不等式恒成立,求x的取值范围。袅薃薁【解析】∵t∈[,8],∴f(t)∈[,3]袀芈蒁原题转化为:>0恒成立,为m的一次函数(这里思维的转化很重要)芆芅艿当x=2时,不等式不成立。虿莈薆∴x≠2。令g(m)=,m∈[,3]蚇螂蚁问题转化为g(m)在m∈[,3]上恒对于0,则:;蚁蒈蚈解得:x>2或x<-1螃蒄蚇【评析】首先明确本题是求x的取值范围,这里注意另一个变量m,不等式的左边恰是m的一次函数,因此依据一次函数的特性得到解决。在多个字母变量的问题中,选准“主元”往往是解题的关键。蒀薈芅【例3】为了更好的了解鲸的生活****性,某动物保护组织在受伤的鲸身上装了电子监测装置,从海洋放归点A处,如图(1)所示,把它放回大海,并沿海岸线由西向东不停地对它进行了长达40分钟的跟踪观测,每隔10分钟踩点测得数据如下表(设鲸沿海面游动),然后又在观测站B处对鲸进行生活****性的详细观测,已知AB=15km,观测站B的观测半径为5km。膄羂螁观测时刻薅蚄葿跟踪观测点到放归羆肂膄鲸位于跟踪观测点正北腿蚈聿t(分钟)节蚇肄点的距离a(km)羁螇蒀方向的距离b(km)***(1)据表中信息:①计算出鲸沿海岸线方向运动蒂蚆膀的速度;②试写