文档介绍：第2讲函数的单调性与最值
考点梳理
(1)单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,
①若__________,则f(x)在区间D上是增函数;
②若__________ ,则f(x)在区间D上是减函数.
(2)单调性、单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是_______或________,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间.
f(x1)<f(x2)
f(x1)>f(x2)
增函数
减函数
一般地,设y=f(x)∈A,使得对于任意的x∈A,都有_________,那么称f(x0)为y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0);如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有___________,那么称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0).
f(x)≤f(x0)
f(x)≥f(x0)
一个命题规律
求函数的单调区间及单调性的应用,如应用单调性求值域、比较大小、解(或证明).
【助学·微博】
函数单调性的四种判断方法
(1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论.
(2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数.
(3)导数法:利用导数研究函数的单调性.
(4)图象法:利用图象研究函数的单调性.
答案-1
考点自测
解析因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,且x2+1≥2x>x(x>0),所以f(x2+1)>f(x).
答案 f(x2+1)>f(x)
解析因为f(x)是定义域(0,+∞)上的增函数,所以由f(x2+2)≤f(3x),得x2+2≤3x,即x2-3x+2≤0,解得1≤x≤2.
答案[1,2]
3.(2013·连云港模拟)已知函数f(x)=2x+ln x,若f(x2+
2)≤f(3x),则x的取值范围是________.
解析因为2x与log2x都是[1,2]上的增函数,所以f(x)=2x+log2x是[1,2]上的增函数,所以f(1)≤f(x)≤f(2),即2≤f(x)≤5.
答案[2,5]
4.(2012·镇江市调研)函数f(x)=2x+log2x(x∈[1,2])的值域
为________.
解析 f(x)在[a,+∞)上是减函数,对于g(x),只有当a>0时,它有两个减区间为(-∞,-1)和(-1,+∞),故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可,则a的取值范围是0<a≤1.
答案(0,1]
审题视点可利用定义或导数法讨论函数的单调性.
考向一函数单调性的判断