文档介绍：补充材料:非线性回归模型的线性化
以上介绍了线性回归模型。但有时候变量之间的关系是非线性的。例如
yt = a 0 + a1+ ut
yt = a 0 + ut
上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难,在60年前几乎不可能实现。计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。
另外还有一类非线性回归模型。其形式是非线性的,但可以通过适当的变换,转化为线性模型,然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。
⑴指数函数模型
yt = ()
b>0 和b<。显然xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数,得
Lnyt = Lna + b xt + ut ()
令Lnyt = yt*, Lna = a*, 则
yt* = a* + bxt + ut ()
变量yt* 和xt已变换成为线性关系。其中ut表示随机误差项。

yt =, (b > 0) yt =, (b < 0)
⑵对数函数模型
yt = a + b Ln xt + ut ()
b>0和b<。xt和yt的关系是非线性的。令xt* = Lnxt, 则
yt = a + b xt* + ut ()
变量yt 和xt* 已变换成为线性关系。

yt = a + b Lnxt + ut , (b > 0) yt = a + b Lnxt + ut , (b < 0)
⑶幂函数模型
yt = a xt b ()
。xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取对数,得
Lnyt = Lna + b Lnxt + ut ()
令yt* = Lnyt, a* = Lna, xt* = Lnxt, 则上式表示为
yt* = a* + b xt* + ut ()
变量yt* 和xt* 之间已成线性关系。其中ut表示随机误差项。() 式也称作全对数模型。

yt = a xt b yt = a xt b
⑷双曲线函数模型
1/yt = a + b/xt + ut ()
也可写成,
yt = 1/ (a + b/xt + ut) ()
b>。xt和yt的关系是非线性的。令yt* = 1/yt, xt* = 1/xt,得
yt* = a + b xt* + ut
已变换为线性回归模型。其中ut表示随机误差项。

yt = 1/ (a + b/xt ), (b > 0) yt = a + b/xt , (b > 0)
双曲线函数还有另一种表达方式,
yt = a + b/xt + ut ()
b>。xt和yt的关系是非线性的。令xt* = 1/xt,得
yt = a + b xt* +