文档介绍：用博克斯—詹金斯模型研究中国农业总产值
一、方法介绍
(一)基本思路
博克斯—詹金斯模型Box-Jenkins方法是在定性分析的基础上,按照一定的数学理论建立各因素的综合模型。主要包括自回归模型(简称AR模型)、滑动平均模型(简称MA模型),自回归滑动平均模型(简称ARMA模型)。
(二)博克斯—詹金斯模型形式
博克斯—詹金斯模型具体有以下几种形式:
(简称AR模型)
设阶自回归模型记为AR()
,为当前值与过去相关数据的时期跨度。时,上式即为,为一系列零均值的相互独立的正态随机变量,为平稳随机序列。
(简称MA模型)
滑动平均法是假定时间序列任一期的值是它以前各期的加权平均,而以前各期的权重是按指数递减的。加权平均是线性组合的一种形式。阶移动平均模型MA():
时,一阶移动平均模型MA(1):。若,则过程平稳。
(简称ARMA模型)
ARMA模型方程为:。
(1)ARMA模型的前提假设(条件):建立模型的时间序列是由一个零均值的平稳随机过程产生的。即平稳随机过程的统计特征不随时间的移动而变化,在图像上表现为所有的样本曲线皆在某一水平线上随机波动。
(2)ARMA模型依据的基本思想:几乎所有的时间序列按时间顺序排列的观察值之间都具有依赖关系或自相关性。这种自相关性如果被定量描述出来,就可以从序列的过去值预测其未来值。
当一个时间序列中与具有线性关系时,可以用线性回归方程表示他们之间的相关性,即一个序列内部的自相关性。
,该式一般称为一阶自回归模型,记作AR(1)。式中可用最小二乘法求出,为残差项,它要满足假设条件,即残差项序列各项之间应相互独立,即与等无关。如果的独立性通不过检验,可把分解成两部分,一部分依赖于,可用表示,另一部分可分解余下的残差,用表示,,因此,一阶自回归移动平均的ARMA(1,1)模型可以表示为:。
(三)博克斯—詹金斯模型的识别与估计
该模型的识别是根据样本自相关函数及样本偏相关函数的形态来判断模型的类别。

自相关是时间序列诸项之间的简单相关,其大小用自相关系数度量。自相关系数是不同滞后期或时滞值之间的相关,其计算公式为:
对于平稳时间序列而言,两个不同时期的变量之间的相关系数,与具体期数无关。即如果{}是一平稳过程,则有,因此有
其中为协方差函数,。自相关函数揭示了{}的相邻数据之间存在多大程度的相关。
如果对于所有的,序列的自相关函数等于或近似等于零,则说明序列的当前值与过去时期的观测值无关,这时该序列没有可预测性。如果时间序列是自相关的,就意味着当前回报依赖于历史信息,因此可通过历史信息来预测未来回报。当自相关系数随着的增大迅速向零逼近时,表明该序列平稳;反之,自相关系数不随值增大而迅速向零逼近,并以较大的数值延续多个时期,表明该序列属于非平稳序列。

偏自相关是时间序列,在给定了的条件下,与之间的条件相关,它用以测量当其他滞后期1,2,…,的时间序列的作用在已知条件下,与之间的相关程度。由于它需要考虑排除其他滞后期的效应,因而被称作偏子相关,其相关程度用自相关系数度量,。
,当
= 当=2,3,…
()

AR模型的一个重要特性是样本序列自相关函数具有逆推的性质,即(),取方程组中,则个方程写成矩阵形式。
,即为Yule-Walker方程,其中系数矩阵为Toeplitz相关矩阵。
应用估计值,则
=
AR()模型残差序列{}的方差估计值为:

综合上述结果可得:

对于MA()模型,,设{}为白噪声,则求样本的自相关函数应满足:
(
(
用线性迭代即可求出参数和。

第一步:设模型,已确定,从样本序列的自相关系数序列{}出发,

由样本数据求出后,代入上述方程组即可求出。
第二步:令其协方差函数为:
第三步:将近似看作MA()序列,再用对MA()的迭代方法求出参数的估计值。

(1)若自相关函数在步以后截尾,则可以认为它是MA()模型。
(2)若偏自相关函数在步以后截尾,则序列可以建立AR()模型。
(3)若序列的自相关和偏自相关函数都拖尾,则要建立ARMA(,)模型。(,)的阶数可以从低到高逐个取为(1,1),(1,2),(2,1)等进行尝试。模型的识别见表1。
表1 模型的识别
AR(0,)
MA(0,)
ARMA(,)
模型方程
自相关函数
拖尾
截尾(
拖尾
偏自相关函数
截尾(
拖尾
拖尾
自相关函数偏自相关的截尾性,从理论上说,是指他们在某步以后全部为