文档介绍：三角形四心的一种向量表示图1 几个记法:在△ABC中,O是其内部(不包括边界)一点,连结AO并延长交BC于D,连结BO并延长交CA于E,连结CO并延长交AB于F。记:,,;,,;且有:记:,,(1) (;; (。((2)若,,,则有: (;; (。(证明:只证明(,其它同理。∵∴则有引理2. ( ( ( ( ( (且有()证明:∵点B、O、E共线,且∴ ………………①同理,∵点C、O、F共线,且∴………………②∴,解得: ………………③③代入①得:又由引理1:共线得:由塞瓦定理得:代入上式得:………………④由③④得式(,则,,有,代入引理2可得。,则,,内三角形的内角平分线定理,有,代入引理2可得。,则:. ():当三角形不为直角三角形时O为三角形ABC的垂心时,有:,代入引理2有:=再由正弦定理得:代入上式,分子、分母同除以2RsinAsinBsinC,可得:。把,代入引理2整理得:若三角形为直角三角形,当A为直角时,△ABC的垂心即为点A,所以,而cotA=0,故()成立当B为直角时,△ABC的垂心即为点B,,cotB=0,()成立;当C为直角时,△ABC的垂心即为点C,,cotC=0,()成立。:由引理2:==由前边的记法及由塞瓦定理得:,代入上式得:同理:由平面向量的基本定理,可设于是有:即:解得:∴:。证明:必要性:若O是△ABC的重心,则,由引理3得充分性:由得:(其中F是AB的中点)∴点O、C、F共线,即点O在中线CF上;同理,点O在中线AD、BE上,∴O为△ABC的重心。:(其中a、b、c分别是角A、B、C的对边)。证明:必要性:∵O是三角形ABC的内心,由内角平分线定理∴,由引理3得:即:充分性:由变形得:∴∴由向量加法的平行四边形法则,点O在角A的平分线上;同理,点O在角B和角C的平分线上,∴点O是△ABC的内心。:。()注:当三角形不为直角三角形时成立。若三角形为直角三角形,可把结论改为:=。()事实上,此时,垂心为直角三角形的直角顶点。证明:必要性:当三角形不为直角三角形时∵O是三角形ABC的垂心∴,由引理3可得即:再由正弦定理得:代入上式,然后两边同除以2RcosAcosBcosC得:当三角形为直角三角形时,经验证,()成立。充分性:若三角形不为直角三角形由变形得:即:由引理1得:==由正弦定理得:上式化为=而∴共线,即点O在BC边的高线上;同理,点O也在CA、AB边的高线上,∴O为O是三角形ABC的垂心。若三角形为直角三角形,当A为直角时,点A即为三角形的垂心。()化为:,即O与A重合,所以O为三角形的垂心。对B和C为直角时,同时可得。: ()证明此定理需要下面的引理::在△ABC中,D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点,若O是△ABC的外心,则O是△DEF的垂心。证明:∵D、E、F分别是BC、CA、AB的中点∴EF∥BC,FD∥CA,DE∥AB,∵O△ABC的外心,∴OD⊥BC∴OD⊥EF,同理:OE⊥FD,OF⊥DE,∴O为△DEF的垂心。逆定理:如图3:设O是△ABC的垂心,过点A、B、C分别作BC、CA、AB的平行线,交于D、E、F三点,则O是△DEF的外心。图3证明:∵EF∥BC,FD∥CA,DE∥AB,∴四边形ACBF、ABCE分别是平行四边形,∴AF=BC=AE,即A是EF的中点,同理,B是FD的中点,C是DE的中点,∵O是△ABC的垂心,∴OA⊥EF,OB⊥FD,OC⊥DE,∴OA=OB=OC,∴O是△DEF的外心。定理4的证明:必要性:∵O是△ABC的外心,∴O是△DEF的垂心,当三角形不为直角三角形时由定理7得:,又由D=A,E=B,F=C有:∵,,,代入上式整理得:。把各切化弦可得:若三角形为直角三角形,当A为直角时,有,而外心O为BC边的中点,,所以。当B或C为直角时,同理可证。充分性:当三角形不为直角三角形时由用二倍角公式将sin2A、sin2B、sin2C展开,两边同除以cosAcosBcosC可得:于是:如图2:,,,且D=A,E=B,F=C,代入上式得:∴O是是△DEF的垂心,由引理4的逆定理,则O是△ABC的外心。当三角形为直角三角形时。若A为直角,有,()化为:,则O为BC边的中点,所以O为三角形的外心。当