文档介绍：二叉树期权定价模型
二叉树模型的基本方法熟悉
基本二叉树方法的扩展熟悉
构造树图的其他方法和思路了解
二叉树定价模型的深入理解熟悉
蒙特卡罗模拟
蒙特卡罗模拟的基本过程熟悉
蒙特卡罗模拟的技术实现熟悉
减少方差的技巧了解
蒙特卡罗模拟的理解和应用了解
有限差分方法
隐性有限差分法熟悉
显性有限差分法熟悉
有限差分方法的比较分析和改进了解
有限差分方法的应用了解
1、从开始的上升到原先的倍,即到达;
2、下降到原先的倍,即。
时间内资产价格的变动
把期权的有效期分为很多很小的时间间隔,并假设在每一个时间间隔内证券
价格只有两种运动的可能:
其中. 。价格上升的概率假设为,下降的概率假设为
。
相应地,期权价值也会有所不同,分别为和。
二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动
二叉树模型可分为以下几种方法:
(一)单步二叉树模型
(二)证券价格的树型结构
(三)倒推定价法 5. 倒推定价法
二叉树方法的一般定价过程-以无收益证券的美式看跌期权为例
无套利定价法:
构造投资组合包括份股票多头和1份看涨期权空头
当则组合为无风险组合
此时
因为是无风险组合,可用无风险利率贴现,得
将代入上式就可得到:
其中
在风险中性世界里:
(1)所有可交易证券的期望收益都是无风险利率;
(2)未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 参数值满足条件:
假设证券价格遵循几何布朗运动,则:
再设定: (第三个条件的设定则可以有所不同, 这是Cox、Ross和Rubinstein所用的条件)
由以上三式可得,当很小时:
从而
以上可知,无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。
一般而言,在时刻,证券价格有种可能,它们可用符号表示为:
其中
注意:由于,使得许多结点是重合的,从而大大简化了树图。
得到每个结点的资产价格之后,就可以在二叉树模型中采用倒推定价法,从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推,为期权定价。
如果是欧式期权,可通过将时刻的期权价值的预期值在时间长度内以无风险利率贴现求出每一结点上的期权价值;
如果是美式期权,就要在树型结构的每一个结点上,比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间,到下一个时刻再执行期权,选择其中较大者作为本结点的期权价值。
假设把该期权有效期划分成N个长度为的小区间,同时用表示结点处的证券价格可得: ,其中
假定期权不被提前执行, 后,则:
(表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值)
若有提前执行的可能性,则: