文档介绍：期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的,它
涉及到随机过程等较为复杂的概念。而期权定价又是整个金融工程学科的重要基础。因此,本章内容相当的重要。在知识结构安排上,本章将从证券价格的运动规律讲起,逐步推导出BS期权定价模型,同时,对该模型的实证研究成果进行一定的概况性叙述。
研究意义了解 证券价格变化过程掌握 布莱克-舒尔斯期权定价模型 布莱克- 布莱克- 布莱克- 布莱克-舒尔斯期权定价公式的基本推广熟悉 布莱克- 布莱克- 布莱克-舒尔斯期权定价公式的应用熟悉
证券价格的变化过程
期权是标的资产的衍生工具,其价格波动的来源就是标的资产价格的变化,期权价格受到标的资产价格的影响。因此期权定价使用的是相对定价法,即相对于证券价格的价格,因而要为期权定价首先必须研究证券价格。
期权的价值正是来源于签订合约时,未来标的资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化,在现实中,资产价格总是随机变化的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程,可以帮助我们了解在特定时刻,变量取值的概率分布情况。
为什么我们要研究证券价格的变化过程?
1965年,法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说。该假说认为,投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬;证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的,证券价格能完全反应全部信息;市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平,而与新信息相应的价格变动是相互独立的
1、弱式效率市场假说认为,证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息,也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。
2、半强式效率市场假说认为,证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整,因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。
3、强式效率市场假说认为,不仅是已公布的信息,而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中,因此任何信息(包括“内幕信息”)对挑选证券都没有用处。
根据众多学者的实证研究,发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。
随机过程(Stochastic Process)是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。根据时间是否连续和变量取值范围是否连续,随机过程可以做如下的划分:
时间的连续性离散时间随机过程连续时间随机过程
变量取值范围的连续性离散变量随机过程连续变量随机过程
从严格意义上说,证券价格的变化过程属于离散变量的离散时间随机过程,为了研究方便,我们可以把它近似为连续变量的连续时间的随机过程。
随机过程有许多类型,在本课程中,我们将涉及一些符合证券价格变化规律的随机过程。
一般认为,弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程(Markov Stochastic Process)是内在一致的。
马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。在这个过程中,只有变量的当前值才与未来的预测有关,变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。
如果证券价格遵循马尔可夫过程,则意味着其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格,这显然和弱式效率市场假说是一致的。
布朗运动(Brownian Motion)起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述。
对于标准布朗运动来说:设代表一个小的时间间隔长度, 代表变量z在时间内的变化,遵循标准布朗运动的具有两种特征:
特征1: 和的关系满足:
=
其中, 代表从标准正态分布(即均值为0、)中取的一个随机值。
特征2:对于任何两个不同时间间隔, 的值相互独立。
当0时,我们就可以得到极限的标准布朗运动:
1、为何定义= 而非= ?
当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时,独立的正态分布,期望值和方差具有可加性,而标准差不具有可加性。这样定义可以使方差与时间长度成比例,不受时间划分方法的影响。
相应的一个结果就是:标准差的单位变为
2、下面我们来考查符合标准布朗运动的变量z在一段较长时间T中的变化情形:
令z(T)-z(0)表示变量z在T中的变化量,显然该变量又可被看作是在N个长度为的小时间间隔中z的变化总量,其中N=T/ Δt 。
很显然,这是n个相互独立的正态分布的和:
因此,z(T)-z(0)也具有正态分布特征,其均值为0,方差为N