文档介绍：莈芆羄解三角形的必备知识和典型例题及详解肄一、知识必备::羀在△ABC中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。蚄(1)三边之间的关系:a2+b2=c2。(勾股定理)袂(2)锐角之间的关系:A+B=90°;衿(3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义)荿sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=。:羃在△ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c分别表示A、B、C的对边。节(1)三角形内角和:A+B+C=π。螈(2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等肈膅(R为外接圆半径)羄(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍莀a2=b2+c2-osA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC。:袆(1)=aha=bhb=chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高);螂(2)=absinC=bcsinA=acsinB;:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边),这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、:蚇(1)两类正弦定理解三角形的问题:蚆第1、已知两角和任意一边,、已知两角和其中一边的对角,(2)两类余弦定理解三角形的问题:肆第1、、已知两边和他们的夹角,,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。螀(1)角的变换***因为在△ABC中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。蚂;莁(2)判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,:(1)分析:分析题意,弄清已知和所求;袇(2)建模:将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图;螃(3)求解:正确运用正、余弦定理求解;蒀(4)检验:检验上述所求是否符合实际意义。虿二、典例解析莃题型1:正、余弦定理袅例1.(1)在中,已知,,cm,解三角形;袂(2)在中,已知cm,cm,,解三角形(角度精确到,边长精确到1cm)。肈解:(1)根据三角形内角和定理,肄;蚂根据正弦定理,;羁根据正弦定理,蒇袄(2)根据正弦定理, 蚃因为<<,所以,或聿①当时,,羇薅②当时,螅,蒁点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形;(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器莆题型2:,,,,求的值和的面积。薂解法一:先解三角方程,求出角A的值。薀聿又,肅,薄羂。葿解法二:由计算它的对偶关系式的值。袆①莁肀,袈②薆①+②得。蒂①-②得。腿从而。莇以下解法略去。芆点评:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算能力,是一道三角的基础试题。两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简单呢?蒄题型3:△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,求∠A的大小及的值。螇分析:因给出的是a、b、c之间的等量关系,要求∠A,需找∠A与三边的关系,故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a,再用正弦定理可求的值。肇解法一:∵a、b、c成等比数列,∴b2=ac。芁又a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc。蚀在△ABC中,由余弦定理得:cosA===,膆∴∠A=60°。螇在△ABC中,由正弦定理得sinB=,∵b2=ac,莂∠A=60°,羂∴=sin60°=。袀解法二:在△ABC中,芄由面积公式得bcsinA=acsinB。蒄∵b2=ac,∠A=60°,∴bcsinA=b2sinB。膀∴=sinA=。艿评述:解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理。肄题型4:正、△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是() :C芃解析:2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB薁∴sin(A-B)=0,∴A=B膈另解:角化边蒅点评:本题考查了三角形的基本性质,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向,通畅解题途径莄题型5:三角形中求值问题蝿例5