文档介绍：第二章- 矩阵与矩阵的Jordan标准形
矩阵的基本概念
定义:设
为数域上的多项式,则称
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为多项式矩阵或矩阵。
定义如果矩阵中有一个阶子式不为零,而所有阶子式(如果有的话)全为零,则称的秩为,记为
零矩阵的秩为0。
定义一个阶矩阵称为可逆的,如果有一个阶矩阵,满足
这里是阶单位矩阵。称为矩阵的逆矩阵,记为。
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定理一个阶矩阵可逆的充要必要是
一个非零的常数。
定义下列各种类型的变换,叫做矩阵的初等变换:
矩阵的任二行(列)互换位置;
非零常数乘矩阵的某一行(列);
矩阵的某一行(列)的倍加到另一行(列)上去,其中是的一个多项式。
对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种矩阵得初等矩阵
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定理对一个的矩阵的行作初等行变换,相当于用相应的阶初等矩阵左乘。对的列作初等列变换,相当于用相应的阶初等矩阵右乘。
定义如果经过有限次的初等变换之后变成
,则称与等价,记之为
定理与等价的充要条件是存在两个可逆矩阵与,使得
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矩阵Smith标准形的存在性
定理任意一个非零的型的矩阵都等价于
一个对角矩阵,即
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其中是首项系数为1的多项式且
称这种形式的矩阵为的Smith标准形。
称为的不变因子。
例 1
将其化成Smith标准形。
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解:
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例 2
将其化成Smith标准形。
解:
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