考研教案5(中值定理).doc

文档介绍：Ch4 中值定理
费马定理:a. 在某领域有或
b. 在可导.
;
TH; TH; TH;。
Lagrange定理、Cauchy中值定理我证之精华
一、Lagrange定理
,在内可导,证明:
证:令,积分
,
在上满足Rolle定理条件,即证.
二、Cauchy中值定理
,在内可导,且,则
证:令,则
积分
在上满足Rolle定理条件,即证.
题型1.,命题;
1. 在上满足Rolle条件,得证;
2. 的最值或极限点,用费马定理.
TH或 Talyor公式.
,,求证:使.
证:

在上最小值不在端点,
,且,其中,证明:.
证:在上连续,在内可导,且,由Rolle TH,
,使得.
同理,
又在连续,在内可导,
由Rolle TH,,使得
**足够光滑,,则
+1阶导数,,且,
证明:
证:(数学归纳法)n=0,由及Rolle TH得证.
假设n=k-1时结论成立. 使.
n=k时,,对在使用Rolle TH,
另证:,介于0与x之间,
由条件:
题型2. 使得及代数式证法。(重点)
方法:; TH; .
(重点)的求法:一、积分法;;

(取c=0)
二、微分方程法;欲证,解为,
取
=0
,在内可导,且,证明: ,使.
分析:
令.
证: ,在内可导,则
在内可导
又,由Rolle TH,则.
例2. 设,在内可导,证明:在内至少存在一点,
使.
分析:
.
证:令
,在内可导
由Rolle TH,,. 即证.
,在内可导,且,证明: ,使.
证:
,
,Rolle TH,
, 即证.
Ex2. 设,在内可导,,证明: ,使
分析: (Cauchy中值定理)
证:在连续,在内可导.
,
另证:
,
,,.
题型3、含的高阶导数等式。辅助函数法,积分法,微分方程法,泰勒公式法。
例1、设,且,,
证明:
证:由Talyor公式:
(1)
(2)
(2)-(1),
在有最大值最小值.
故,.
,在内可导,证明:
,使
证: (1)
(2)
(1)-(2),得
(3)
(4)

(m,M是在上最小值、最大值)
(3)+(4),.
例2、设上二阶可导,,试证:。
分析:,构造辅助函数
由推出
题型4