文档介绍：一、可对角化的概念
二、可对角化的条件
§ 对角矩阵
三、对角化的一般方法
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对角矩阵
定义1:设是维线性空间V的一个线性变换,
如果存在V的一个基,使在这组基下的矩阵为对
角矩阵,则称线性变换可对角化.
矩阵,则称矩阵A可对角化.
定义2:矩阵A是数域上的一个级方阵. 如果
存在一个上的级可逆矩阵,使为对角
一、可对角化的概念
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对角矩阵
1. (定理7)设为维线性空间V的一个线性变换,
则可对角化有个线性无关的特征向量.
证:设在基下的矩阵为对角矩阵
则有
二、可对角化的条件
就是的n个线性无关的特征向量.
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对角矩阵
反之,若有个线性无关的特征向量
那么就取为基,则在这组基下的矩阵
是对角矩阵.
2. (定理8)设为n维线性空间V的一个线性变换,
如果分别是的属于互不相同的特征值
的特征向量,则线性无关.
证:对k作数学归纳法.
当时, 线性无关. 命题成立.
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对角矩阵
假设对于来说,结论成立. 现设为
的互不相同的特征值, 是属于的特征向量,
即
以乘①式的两端,得
②
设
①
又对①式两端施行线性变换,得
③
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对角矩阵
③式减②式得
由归纳假设, 线性无关,所以
但互不相同,所以
将之代入①,得
故线性无关.
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对角矩阵
特别地,(推论2) 在复数域C上的线性空间中,
3. (推论1) 设为n 维线性空间V的一个线性变换,
则可对角化.
如果线性变换的特征多项式没有重根,则可
如果的特征多项式在数域 P 中有n个不同特征值,
对角化.
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对角矩阵
特征值的线性无关的特征向量,
则向量线性无关.
4. (定理9) 设为线性空间V的一个线性变换,
是的不同特征值,而是属于
证明:首先, 的属于同一特征值的特征向量
的非零线性组合仍是的属于特征值的一个特征
向量.
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对角矩阵
令
由④有,
设
④
若有某个则是的属于特征值的
特征向量.
而是互不相同的,由定理8,
必有所有的
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对角矩阵
即
而线性无关,所以有
故线性无关.
为的特征子空间.
5. 设为n维线性空间V的一个线性变换,
为全部不同的特征值,则可对角化
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对角矩阵