文档介绍：主要内容()
一、协方差(重点);
二、相关系数(重点);
三、不相关与独立的关系(重点);
四、矩、中心矩简介。
第三节协方差与相关系数
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一、协方差(重点)
1、引入背景
二维随机变量(X,Y)的相互关系如何描述?n维变量间的关系
举例:
(1)不同地区气温间的关系;
(2)人的身高、体重间的关系;
(3)不同股票收益率间的关系;
(4)公司经营业绩与资本结构间的关系。
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(X, Y)为二维随机变量,则称下式为X、Y的协方差。
Cov(X,Y) =E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
⑴协方差为X,Y偏差[ X-E(X)] 与[Y-E(Y) ] 乘积的数学期望
(3) 当X,Y相同时,Cov(X, X) = D(X)=Var(X).
2、协方差的定义
说明:
(2) Cov(X,Y)>0,正相关;Cov(X,Y)<0, 负相关。=0,不相关
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(4) Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y)
(2) 对称性: Cov(X, Y)= Cov(Y, X)
(3) Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y) a,b是常数
3、协方差的主要性质
⑴ Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y) (最常用计算方法)
(5) D(X±Y)= D(X)+D(Y) ± 2Cov(X, Y)
(6) 若X与Y独立, Cov(X,Y)= 0 . 不相关
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证: (1) Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
=E(XY)-E(X)E(Y)
(3) Cov(aX, bY) =E{[aX-E(aX)][bY-bE(Y) ]}
= ab cov(X, Y)
=E{ab [X-E(X)][Y-E(Y) ]}
(4) Cov(X1+X2, Y)=E{[X1+X2 -E(X1+X2)][Y-E(Y) ]}
=Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y)
=E{[X1 -E(X1)][Y-E(Y) ]}+E{[ X2 -E(X2)] [Y-E(Y) ]}}
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(6) X与Y独立 E(XY) =E(X)E(Y)
Cov(X,Y)= 0 .
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