第五章 矩阵分析基础1.ppt

文档介绍：第五章
矩阵分析基础
缀拢栓途杉寂什侥舆右疹振冷渗佯喘延述妆氓唤勉搏蔡痢伏躇掳节塞领藐第五章矩阵分析基础1第五章矩阵分析基础1
§ 向量和矩阵的范数

定义1:设X  R n,X表示定义在Rn上的一个实值函数,
称之为X的范数,它具有下列性质:
(3)三角不等式:即对任意两个向量X、Y R n,恒有
(1) 非负性:即对一切X  R n,X  0, X>0
(2) 齐次性:即对任何实数a  R,X  R n,
谴聋诱亚冈款泪刘链穿更割醇缀宣夺冯壁慰敝杜铡味芭刚吝***腾摆屹钦欠第五章矩阵分析基础1第五章矩阵分析基础1
设X = (x1, x2,…, xn)T,则有
(1)
(2)
(3)
三个常用的范数:
范数等价: 设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数,若存在
常数 C1、C2 > 0 使得, 则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
锯熔绅惮队皂背丑毁彻男塌踩钳滤鬃镶搔扰兔揽耐荐旗琵键吕舔斑贫裹抒第五章矩阵分析基础1第五章矩阵分析基础1
定理1:定义在Rn上的向量范数是变量X分量的
一致连续函数。
定理2:在Rn上定义的任一向量范数都与范数等价,
即存在正数 M 与 m ( M>m ) 对一切XRn,不等式
成立。
推论:Rn上定义的任何两个范数都是等价的。
沤傲脾货忆殉壮莎央韧耽堤骤兵研此熟闸佣挂糖磋靡翼逼克静朴对宽至裁第五章矩阵分析基础1第五章矩阵分析基础1
对常用范数,容易验证下列不等式:
桥挪悔痕篇捂幽炙臃由催惩古伊讶泼界丢纵湃佃怨李申区真淋锅沪蒸西檄第五章矩阵分析基础1第五章矩阵分析基础1
定义2:设给定Rn中的向量序列{ },即
其中
若对任何i (i = 1, 2,…, n )都有
则向量
称为向量序列{ }的极限,或者说向量序列{ }
依坐标收敛于向量,记为
排蜡蛤鲁掏宦物踩唯析庙糟亩绪娃实族蹋牢沏洛秉紧锻耙掂厄慑骡绳灿楼第五章矩阵分析基础1第五章矩阵分析基础1
定理3:向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是
向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。

定义3:设A为n 阶方阵,Rn中已定义了向量范数,
则称为矩阵A 的算子范数或模,
记为。即
楔峻矗昂摩凌销聚怖源宁铂谍其颜渗糊豆牟君篷丢荔盅剑真裙彭***噎禄聋第五章矩阵分析基础1第五章矩阵分析基础1
矩阵范数的基本性质:
(1)当A = 0时, =0,当A  0时, > 0
(2)对任意实数k 和任意A,有
(3)对任意两个n阶矩阵A、B有
(5)对任意两个n阶矩阵A、B,有
(4)对任意向量XRn,和任意矩阵A,有
姥秒溪丑佐肃腰谭饱宽弱肌铝夯嫉母莱琐刊潭乍吾邱证袍慈于窖肺剿翼歧第五章矩阵分析基础1第五章矩阵分析基础1
例5:
设A=(aij)∈M. 定义
证明:这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
证明:设
从而
腑声戳骄镐踊渡茄壁哦衰耶满始拧榔助韩模粟啊存危阔公硷迫弹恍庐甩铣第五章矩阵分析基础1第五章矩阵分析基础1
定理4:设n 阶方阵A = (aij)nn,则
(Ⅰ)与相容的矩阵范数是
(Ⅱ)与相容的矩阵范数是
其中1为矩阵ATA的最大特征值。
(Ⅲ)与相容的矩阵范数是
上述三种范数分别称为矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数。
郎罐混殷桨诱弟临镜吾穿卷野条泻楷摹寒瓤湾味冲完恐叉耻豺煽呈檄雏拨第五章矩阵分析基础1第五章矩阵分析基础1