文档介绍：基于 MARC 的水槽地基有限元静动力分析
李君,彭宣茂,艾亿谋
河海大学土木工程学院,南京(210098)
摘要:介绍了一个简化的水槽地基模型及其在通用有限元软件MARC 中的运用和实现。
充分应用静力学知识和结构动力学知识分别分析了水槽在受自重和水压力作用下各个方向
的应力和位移情况,又通过比较在静荷载叠加规范谱和静力没有规范谱两种情况下应力位移
的变化过程。通过一系列的图表给出了相应的结果。
关键词:MARC,几何模型,有限元,静力分析,动力分析
1. 前言
[1],该软件具有丰富的计算功能和强大的前后图形
处理功能,可以进行各种复杂水工结构和地下结构的线性、非线性静力计算、动力计算和稳
定计算以及各种施工过程的全仿真分析。程序按模块化编程,工作空间可根据计算机内存大
小自动进行调整。对于非线性问题采用增量解法,在各增量步内对非线性代数方程组进行迭
代以满足收敛判定条件。单元刚度矩阵采用数值积分法生成。输入数据可借助于Mentat界面
生成,Marc程序拥有许多对用户开放的子程序即用户子程序,用户可以根据各自需要用
Fortran[2]语言编制用户子程序,实现对输入数据的修改、材料本构关系的定义、载荷条件、
边界条件、约束条件的变更,甚至扩展Marc程序的功能。
首先运用 MARC 进行建模,建立结构的几何模型,指定单元类型、材料特性,进行有
限元网格划分。然后,根据不同的分析类型进行求解,本文主要进行的是静力分析和动力分
析。静力分析主要是分析水槽在受自重和水压力作用下各个方向的应力和位移分布情况。动
力分析是为了求解水槽结构的自振特性,即水槽结构的固有频率和振型,响应分析中采用
Fortran 语言进行编程,用于对 MARC 计算结果进行数值处理和对动力响应进行频谱分析。
将不同时刻的脉动压力值定义为一个数组,以数组的形式读入脉动压力后,利用循环语句求
解每一荷载步下水槽结构的动力响应值。最后,对求解结果进行后处理,如振型、位移、应
力等。
2. 静力学分析理论和结构动力分析理论
利用有限单元法可以分析结构静力学问题以及动力响应问题,即在动荷载作用下结构的
动力响应,如位移、应力等。不论是结构静力学问题还是动力学问题的有限元,要把物体离
散为有限个数的单元体。采用有限元分析结构的静力动力问题时,首先要建立有限元的静力
支配方程和运动方程。
位移模式和坐标变换式
采用相同的形函数建立八节点空间等参单元的位移模式和坐标变换式[4],分别为
8 8 8
∑ NUii ∑ NVii WN= ∑ iiW
U = i=1 , V = i=1 , i=1 (1)
8 8 8
x = ∑ Nxii yN= ∑ iiy z = ∑ Nzii
i=1 , i=1 , i=1 (2)
-1-
U V W x y z
其中, i ,i , i 与 i , i , i i 1,2, Λ,8分别是单元8 个节点的节点位移分量
N N
和节点整体坐标分量; i 是形函数。对于8 节点等参数单元,形函数 i 取为下列形式:
1
N iii=+(1ξξ)(1 +ηη)(1 +ζiζ)
8
ξηζ
式中ξ,η,ζ是单元里一组相互正交的局部坐标; i , i , i i 1,2, Λ,8是单元8个节点
在局部坐标系内的坐标分量。
应力和应变转换矩阵
B =∂ N
应变转换矩阵[] [ ][ ],可根据复合函数求导法则,利用坐标变换式(),先由形函数
N ,对局部坐标ξ,η,ζ求导,再由局部坐标对整体坐标 x,,yz求导复合而成。计算中需
J J −1
要用到雅可比矩阵[ ] 和它的逆矩阵[ ] 。
⎡∂Ni ⎤
⎢∂x 0 0 ⎥
⎢⎥
0
⎢∂Ni ∂Ni ⎥
⎢0 ∂z ⎥
⎢∂y ⎥
[]Bi = ⎢∂Ni 0 0 ⎥
⎢⎥
∂y ∂Ni
⎢∂Ni ⎥
⎢0 ∂x ∂y ⎥
⎢
∂N ∂N ∂N ⎥
⎢ i i i ⎥
⎣∂z ∂z ∂x ⎦i 1,2, Λ,8(3)
SDBSSS==Λ D
应力转换矩阵[] [ ][ ] [12 8 ]624× ,式中[ ]66× 称为弹性矩阵。
⎡∂Ni ∂Ni ∂N ⎤
D D2 D
⎢ 1 ∂x ∂y 2 ∂z ⎥
⎢⎥
∂N
⎢ i ∂Ni ∂N ⎥
D2 D D2
⎢∂x 1 ∂y ∂z ⎥
⎢⎥
∂Ni ∂N
⎢∂Ni ⎥