文档介绍：膄彩虹中的微积分蝿一、问题重述 薆  当雨滴散射阳光时,彩虹就会出现。自古以来人类就被它吸引,并且自从亚里士多德时期开始,人类就已经尝试对彩虹的科学解释。本项目中,我们利用牛顿和笛卡尔的思想来解释彩虹的形状,位置和色彩。膅模型建立薂已给材料中已然建立了一种简单模型,在我看来或许这一模型还能够再复杂并且精确一些,首先我会先给出已给的模型中的问题的证明:薈蚆这是已给的彩虹生成模型,令空气到水的折射率为n,那么由几何知识可以得到β=arcsin(sinα),而最终的D(α)=,由已知的空气对水的折射率约为4/3,带入D(α)中,对D(α)求导得到:薆D’(α)=0时得到α=º,此时D(α)=138º。所以观察者在斜上42º处观察到彩虹的顶端。芄稍微复杂的模型薁讨论完彩虹大体的位置及形成原理,接下来就应当计算各色光的各自宽度和高度了。螆此时我们仍旧利用原来的D(α)=这一公式,但是,此处的n值将带入各色光的折射率的值,经过计算的到:蚃D’(α)=0时有。此时查表得到各色光的n值螂红光:,所以,,红光的色弓莀紫光:,所以,,紫光的色弓螅关于主虹上方有一个弱一点的第二级彩虹肄根据已给模型计算,二级彩虹的形成是应为两次的反射最终导致了二级彩虹的出现,模型和计算过程如下:蒄聿此处的偏转角度为D(α)腿蒅羂此时对D(α)求导,得到膂艿所以时取到最大值,此时n=4/3,α=º,D(α)=231º袆此时第二级彩虹的主虹大约位于观察者仰角51º处,位于第一级彩虹的上方,根据第二级彩虹仰角公式H(α)的单调性考虑各色光的顺序:蚄袁荿可以明显看出此处的仰角与折射率n为正相关,所以各色光以红橙黄绿蓝靛紫的顺序依次向上排列。芇肁更为复杂的模型蚀上述问题讨论的都是彩虹以及霓虹高度的问题,现在不妨来看一看彩虹的形状以及其原因。阳光可以视为平行入射,根据平行线同位角相同原理,水珠的厚度并不会影响彩虹的形状,而是只改变其中的色光强度,即水珠越厚,彩虹的可见度越高。葿以之前的计算为依据,根据太阳光入射的情况不同,彩虹的情况也有所不同,当太阳在我们头上时(例如正午),折射的光线进不到眼睛,所以看不到彩虹。必须到约下午4点以后,彩虹才会在山峦或城市的天际在线出现,而且随着时间越接近傍晚,彩虹的位置会越高。据同样的原理,考虑以通过眼睛平行于入射阳光之直线为转轴,旋转在你眼中造成彩虹的入射光线,这时进到你眼睛的折射色光,会转出一个圆锥面。如果入射光不平行于地面(例如下午4点时),这个圆锥面投射到我们眼里,看起来只是一