文档介绍：三中值定理中介点的极限
例 41 证明:
x
(1) x −>∀∃θ∈)1,0(,1 ,使得 x)1ln( =+ ;
1+θ x
1
(2) limθ= .
x→0 2
证(1)记 xxf += )1ln()( ,则当 x > −1时,xf )( 有意义,且可导,由微分中值定理
得
x
xx 1ln)1ln()1ln( =−+=+ θ<< 10, . (1)
1+θ x
+− xx )1ln(
(2)由(1)得θ= ,由此得
+ xx )1ln(
−+ xx )1ln( 1
θ= limlim = .
x→0 x→0 + xx )1ln( 2
x 2
或由泰勒公式得)1ln( xx +−=+
x 2 )( ,代入得
2
x 2 x
x
x 2 )( =+−θ+−=
xxx ))(1( ,
2 1+θ x
x 2
θ x 2 +=
x 2 )( ,
2
1 1
θ
)1( x →→+= )0( .
2 2
例 42 证明:若n+ )1( xf )( 在aU )( 连续, + ∈ aUha )( ,且
h 2 h n
+=+ ′ afhafhaf )()()( + ′′ af )(
++ n)( haf θθ<<+ 10),( .
2 n!
1
则当 n+ )1( xf ≠ 0)( 时, limθ= .
h→0 n +1
证由泰勒定理得
h n 1
+=+ ′ afhafhaf )()()(
++ n)( af )( + n+ )1( haf θθ<<+ 10),( .
n! n + )!1( 1 1
与已知条件比较得
h n h n h n+1
n)( θ haf )( =+ n)( af )( + n+ )1( +θ haf )( ,
n! n! n + )!1( 1
h
n+ )1( θ n)( θ−+=+ n)( afhafhaf )()()( ,
n +1 1
已知n+ )1( xf )( 在aU )( 连续,由微分中值定理得
h
n+ )1( =+ θθ n+ )1( hahfhaf θθθ<<+ 10),()( ,
n +1 1 2 2
由 n+ )1( xf ≠ 0)( 及连续性假设得
1
limθ= .
h→0 n +1
例 43(武汉大学 2000)函数 xf )( 在x],0[ 上的 Lagrange 中值公式为
−= ′θ⋅ xxffxf < θ< ,10,)()0()(
其中θ是与xf )( 及 x 有关的量. 对 xf = arctan)( x ,求当x → 0 + 时θ的极限值.
1
解= ′ xff )(,0)0( = , 于是有
1+ x 2
x
arctan)( xxf == .
+ θ x)(1 2
解之得
− arctan xx
θ 2 = .
x 2 arctan x
从而有
− arctan xx − arctan xx
lim θ 2 = lim = lim
x→0+ x→0+ x 2 arctan x x→0+ x 3
1
1−
2 1
= lim 1+ x = .
x→0+ 3x 2 3
解方程两边关于 x 求导得
′−= ′+− yxx ′+ y xexyeyeeyy −,7cos2sin2
将x = 0 代入原方程得 y = .0)0( 再将= yx = 0,0 代入上式得
′= − yy ′+ − 72)0()0( ,
5
故 y′)0( −= .
2
四中值定理
1 Rolle 定理
例 44(北师大)设 ba ),( 为有限或无限区间,xf )( 在其内可导,且
= )(lim)(lim = Axfxf (有限或为+ ∞或−∞).
ax +→ bx −→
试证: ξ∈∃ ba ),( ,使得
f ′ξ= 0)( .
证当 A 为有限数时,若)( ≡ Axf ,不证自明. 若xf )( 不恒等于 A,则 0 ∈∃ bax ),,( 使
得 0 )( ≠ Axf ,不妨设 0 )( > Axf , 对 r : 0 )( >> Arxf ,由
= )(lim)(lim <= rAxfxf 得:存在 1 ∈∈ 020 bxxxax ),(),,( ,使得
ax +→ bx −→
i < < 0 ixfrxf = 2,1),()( .
连续性假