文档介绍：第七章 实数的完备性§1 关于实数集完备性的基本定理例1设函数定义在上,, 函数在每点处由函数极限的局部有界性,,在其中有界,,本例可应用致密性定理, 因为在上每点存在极限,由函数极限的局部有界性,,与,;由有限覆盖定理,存在的有限开覆盖若取,则因覆盖了,对中每一,它必属于中某一领域,于是注1上面的证明与闭区间上连续函数的有界性的证明有相似之处(见后面).注2有限覆盖定理的作用在于当能被有限个领域覆盖时,,,,为了得到另一个收敛子列, 因为是有界数列,由致密性定理,存在收敛子列记由于不收敛于,因此在的某一领域之外必有中的无穷多项,对这无穷多项再次应用致密性定理,,,证明的上、,则结论是显然的;若不恒为常数,不妨设对,,当时,而领域外必有中的有限项(至少).在这有限项中必存在的最大项或最小项,于是的上、,所以为非空有界集,由确界原理,,则为常数列,,且,则存在两个子列使使,,即存在两个子列收敛于不同的极限,这与为收敛数列相矛盾。由此可见的上、 ,故有,不妨设不是S的上界(否则为S的最大元,即为S的上确界),,其中必有一子区间,其右端点为S的上界,但左端点不是S的上界,记之为,再将二等分,其中必有一子区间,其右端点是S的上界,而左端不是S的上界,,得到一区间套,其中恒为S的上界,恒非S的上界,且由区间套定理,.现证即为因为,令取极限,得,即为S的上界.(2),因为,故;由于不是S的上界,, 本题证明中的关键是构造合适的区间套,使其公共点正好是数集S的上确界,为此使为S的上界,,要证,:倘若都不是的公共点,于是,使得,因而,.设,,,,,使说明上面是另一种应用有限覆盖定理的方法,即用反证法构造开覆盖,这种分析技巧值得学****167;2闭区间上连续函数性质的证明例1若函数在上无界,则必存在上某点,,若,存在,使得在中有界,则令,它成为的一个无限开覆盖由有限覆盖定理,,因此在上界,,:必存在,使得对任何,满足证,因为,由连续函数的局部保号性,于是,.现令,它是的一个无限开覆盖,由有限开覆盖定理,存在为的有限开覆盖,取,某个(),使,,存在,使得在内递