文档介绍：
问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, ,它的跨度(弧所对的弦的长), 拱高(弧的中点到弦的距离),你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
赵州桥主桥拱的半径是多少?
问题情境
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?
可以发现:
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.
活动一
如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?
?
思
考
·
O
A
B
C
D
E
活动二
(1)
(2) 线段: AE=BE
⌒
⌒
弧:AC=BC ,AD=BD
⌒
⌒
把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,
点A与点B重合,AE与BE重合,AC 和 BC
重合,AD和 BD重合.
⌒
⌒
⌒
⌒
直径CD平分弦AB,并且
平分AB 及 ACB
⌒
⌒
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
即AE=BE
AD=BD,AC=BC
⌒
⌒
⌒
⌒
③AM=BM,
由① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
⑤AD=BD.
⌒
⌒
④AC=BC,
②CD⊥AB,
由① CD是直径
③ AM=BM
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
可推得
D
C
A
B
E
O
几何语言表达
垂径定理:
推论:
证明垂径定理:
如图,
连接OA,OB,
●O
A
B
C
D
M└
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB,OM=OM,
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
如图,
连接OA,OB,
垂径定理的逆定理
●O
A
B
C
D
M└
则OA=OB.
在△OAM和△OBM中,
∵OA=OB,OM=OM,AM=BM
∴△OAM≌△OBM.
∴∠AMO= ∠ BMO.
∴CD⊥AB
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
解得:R≈(m)
B
O
D
A
C
R
解决求赵州桥拱半径的问题
在Rt△OAD中,由勾股定理,得
即 R2=+(R-)2
∴.
OA2=AD2+OD2
AB=,CD=,
OD=OC-CD=R-
在图中
如图,用 AB 表示主桥拱,设 AB所在圆的圆心为O, 作弦AB 的垂线OC,D为垂足,OC与AB 相交于点D,根据前面的结论,D 是AB 的中点,C是AB 的中点,CD 就是拱高.
⌒
⌒
⌒
实践应用
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中,如果一条直线经过圆心且平分弦,
必平分此弦所对的弧
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线,将弦所对
的两条弧分别三等分