文档介绍：等差数列
一、学习目标:等差数列的概念、性质及前n项和求法。
,,.设,求数列的通项公式;
解:依题意,,即,
由此得.
因此,所求通项公式为。
,前三项的和为,前三项的积为,则它的首项为 2 .
,且成等比数列,则.
【考点梳理】
,如已知,a1,an,d,,n中任意三个,可求其余两个。
1)项数为奇数的等差数列有:,
2)项数为偶数的等差数列有:,
:{an}为等差数列
即: ;
:a,a+d,a+2d或a-d,a,a+d;
四个数成等差可设:a-3d,a-d,a+d,a+3d.
:1)等差数列通项公式与一次函数的关系:从函数的角度考查等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n,)均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,=d=,d=,由此联想点列(n,an))点在没有常数项的二次函数上。其中,公差不为0.
(结合二次函数的图象与性质理解)
1)若等差数列的首项,公差,则前项和有最大值。
(ⅰ)若已知通项,则最大;
(ⅱ)若已知,则当取最靠近的非零自然数时最大;
2)若等差数列的首项,公差,则前项和有最小值
(ⅰ)若已知通项,则最小;
(ⅱ)若已知,则当取最靠近的非零自然数时最小。
、通项公式、求和公式、性质等
等差数列
定义
{an}为等差数列an+1-an=d(常数),n∈N+2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+)
通项公式
1)=+(n-1)d=+(n-k)d;=+-d
2)推广:an=am+(n-m)d.
3)变式:a1=an-(n-1)d,d=,d=,由此联想点列(n,an)所在直线的斜率.
求和公式
1)
2)变式:===a1+(n-1)·=an+(n-1)·(-).
等差中项
1)等差中项:若a、b、c成等差数列,则b称a与c的等差中项,且b=;a、b、c成等差数列是2b=a+)推广:2=
重
要
性
质
1
(反之不一定成立);特别地,当时,有;特例:a1+an=a2+a n-1=a3+an-2=…。
2
下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…组成的数列仍为等差数列,公差为md.
3
成等差数列。
4
5
增减性
其
它
性
质
1
an=am+(n-m)d.
2
若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{λan+b}(λ、b为常数)是公差为λd的等差数列;若{bn}也是公差为d的等差数列,则{λ1an+λ2bn}(λ1、λ2为常数)也是等差数列且公差为λ1d+λ2d.
3
an=an+b,即an是n的一次型函数,系数a为等差数列的公差;
Sn=an2+bn,即Sn是n的不含常数项的二次函数;
三、合作探究:
题型1 等差数列的基本运算
例1 在等差数列{an}中,
(1)已知a15=10,a45=90,求a60;
(2)已知S12=84,S20=460,求S28;
(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.
解:(1)方法一: ∴a60=a1+59d=130.
方法2 ,an=am+(n-m)da60=a45+(60-45)d=90+15×=130.
(2)不妨设Sn=An2+Bn, ∴
∴Sn=2n2-17n ∴S28=2×282-17×28=1092
(3)∵S6=S5+a6=5+10=15,
又S6=∴15=即a1=-5 而d=
∴a8=a6+2 d=16 S8=
变式训练1 设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和,求Tn.
解:设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d. ∵S7=7,S15=75,
∴即解得a1=-2,d=1.
∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1)=.
∴-=. ∴数列{}是等差数列,其首项为-2,公差为.
∴Tn=n2-n.
小结与拓展:基本量的思想:常设首项、公差及首项,公比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等。等差数列中,已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,便可求出其余两个.
题型2 等差数列的判定与证明
例2 已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n项和为Sn